Esboce a região delimitada pelas curvas dadas. Decida quando integrar em relação a x ou a y . Desenhe um retângulo aproximante típico e coloque sua altura e largura. Então, calcule a área da região

(8) y = 3 x , y = 3 x , y = 1

Passo 1

Faaala, galeeera! Tudo tranquilo por aí?

O objetivo principal dessa questão é calcular a área de uma região por meio da integração. Para isso precisamos esboçar as funções para entender a delimitação do local. Por fim, vamos desenhar o retângulo com sua altura e largura.

Primeiramente, devemos esboçar as funções. Veja a figura abaixo que representa a interseção entre elas.

Para essa questão vamos dividir a área em duas, como mostra a figura abaixo

Passo 2

Podemos agora calcular a interseção entre as funções, ou seja, o ponto em que as funções se cruzam. Observe que as funções se cruzam em determinados pontos. Vamos calcular as interseções?

Calculando a interseção entre y = 3 x e 3 x , temos

3 x = 3 x

Aplicando a função logarítmica em ambos os lados

ln ⁡ ( 3 x ) = ln ⁡ 3 x

x ln ⁡ ( 3 ) = ln ⁡ ( 3 ) - ln ⁡ ( x )

x = ln ⁡ ( 3 ) - ln ⁡ ( x ) ln ⁡ ( 3 )

x = 1 - ln ⁡ ( x )

x + ln ⁡ ( x ) = 1

Subtraindo x em ambos os lados:

x + ln ⁡ ( x ) - x = 1 - x

ln ⁡ ( x ) = 1 - x

Aplicando a função exponencial em ambos os lados:

e ln ⁡ ( x ) = e 1 - x

x = e 1 - x

Logo, o único valor que satisfaz a igualdade é

x = 1

Área 1:

Para a segunda área, devemos calcular a interseção entre y = 1 e y = 3 x .

Encontrando x :

Devemos igualar as funções

1 = 3 x

ln ⁡ ( 1 ) = ln ⁡ ( 3 x )

0 = x ln ⁡ ( 3 )

x = 0 ln ⁡ ( 3 ) = 0

x = 0

Logo, o intervalo de integração dessa área será de x = 0 até x = 1 .

Área 2:

Para a primeira área, devemos calcular a interseção entre y = 1 e y = 3 x .

Encontrando x :

Primeiramente, devemos igualar as funções

1 = 3 x

x = 3 1 = 3

Logo, o intervalo de integração dessa área será de x = 1 até x = 3 .

Passo 3

O próximo passo é calcular a área da região por meio da integração. Sabemos que a área é dada por:

A = ∫ a b [ f x - g x ] d x

Em que, a f(x) é a função que delimita a parte superior da área e g(x) é a função que limita a parte inferior da área. Como mostra a figura abaixo

Substituindo os dados para calcular a primeira área, temos:

A 1 = ∫ 0 1 3 x - 1 d x

Calculando a integral

A 1 = 3 x ln ⁡ ( 3 ) - x 0 1

A 1 = 3 1 ln ⁡ ( 3 ) - 1 - 3 0 ln ⁡ ( 3 ) - 0

A 1 = 1,73 - 0,91

A 1 = 0,82

Substituindo os dados para calcular a segunda área, temos:

A 2 = ∫ 1 3 3 x - 1 d x

Calculando a integral

A 2 = 3 ln ⁡ ( x ) - x 1 3

A 2 = 3 ln ⁡ ( 3 ) - 3 - 3 ln ⁡ ( 1 ) - 1

A 2 = 0,3 + 1

A 1 = 1,3

Note que: Dividimos em duas áreas. Logo, devemos somar o valor obtido em cada uma para encontrar o valor da área total, beleza?

A = A 1 + A 2 = 0,82 + 1,3

A = 2,12

Até a próxima!

Resposta

A = 2,12

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