Esboce a região delimitada pelas curvas dadas. Decida quando integrar em relação a x ou a y . Desenhe um retângulo aproximante típico e coloque sua altura e largura. Então, calcule a área da região

(9) y = cos ⁡ ( x ) , y = sin ⁡ ( x ) , y = 0 , π 4 ≤ x ≤ π

Passo 1

Faaala, galeeera! Tudo tranquilo por aí?

O objetivo principal dessa questão é calcular a área de uma região por meio da integração. Para isso precisamos esboçar as funções para entender a delimitação do local. Por fim, vamos desenhar o retângulo com sua altura e largura.

Primeiramente, devemos esboçar as funções. Veja a figura abaixo que representa a interseção entre elas.

Para essa questão vamos calcular a área em dobro, ou seja, tanto abaixo de y = 0 quanto acima. Isso facilitará nossos cálculos, pois no final basta dividir a área total por dois para encontrarmos somente a área entre π 4 ≤ x ≤ π . Veja a figura abaixo

Passo 2

Podemos agora calcular a interseção entre as funções, ou seja, o ponto em que as funções se cruzam. Observe que as funções se cruzam em determinados pontos. Vamos calcular as interseções?

Calculando a interseção entre y = cos ⁡ ( x ) e y = sin ⁡ ( x ) , temos

cos ⁡ ( x ) = sin ⁡ ( x )

sin ⁡ ( x ) cos ⁡ ( x ) = 1

tan ⁡ ( x ) = 1

x = arctan ⁡ ( 1 )

x = π 4

O outro ponto de interseção, onde tan ⁡ ( x ) = 1 é o oposto a x = π 4 . Como mostra a figura abaixo. Logo, x = 5 π 4 é outro ponto de interseção.

Passo 3

O próximo passo é calcular a área da região por meio da integração. Sabemos que a área é dada por:

A = ∫ a b [ f x - g x ] d x

Em que, a f(x) é a função que delimita a parte superior da área e g(x) é a função que limita a parte inferior da área. Como mostra a figura abaixo

Substituindo os dados para calcular a área, temos:

A ' = ∫ π / 4 5 π / 4 sin ⁡ ( x ) - cos ⁡ ( x ) d x

Calculando a integral

A ' = - cos ⁡ x - sin ⁡ x π / 4 5 π / 4

A ' = - cos ⁡ π 4 + cos ⁡ 5 π 4 - - sin ⁡ π 4 + sin ⁡ 5 π 4

A ' = 2 - - 2 = 2 2

A ' = 2,82

Note que: Dobramos a área. Logo, devemos dividir o valor obtido por dois para obter a área que queremos, beleza?

A = A ' 2 = 2,82 2

A = 1,41

Até a próxima!

Resposta

A = 1,41

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