Esboce a região delimitada pelas curvas dadas. Decida quando integrar em relação a x ou a y . Desenhe um retângulo aproximadamente típico e coloque sua altura e sua largura. Então, calcule a área da região.

1 5   y = 3 x ,             y = 3 x ,             x = 2

Passo 1

Vamos para a última da lista!! Preparado?? Seguinte, vamos devagarinho aqui... parte por parte sobre o que a questão pede.

Primeiramente vamos esboçar a curva y = 3 x e a curva y = 3 x em um mesmo gráfico:

Se igualarmos as duas funções, nesse caso fica muito fácil ver a interseção. Se liga:

3 x = 3 x ∴ x = 1

Ou seja, há uma interseção em x = 1 .

Analisando ainda mais a figura, vemos que a região delimitada entre as curvas (levando em conta o x = 2 mencionado no enunciado e a interseção em x = 1 ) é essa aqui ó:

Tá... Novamente... Mas e esse “retângulo aproximadamente típico” que a questão pede??

Ele não é nada mais e nada menos do que um retângulo em que a altura equivale a diferença entre as duas funções e a largura é a variação do no eixo x , ou seja, Δ x . Para ficar mais fácil de entender, podemos ver:

Passo 2

Assim, a área delimitada pelas duas curvas será:

A = ∫ 0 1 3 x d x + ∫ 1 2 3 x d x

Agora vamos desenvolver beem devagarinho para a gente não conseguir ter medo de se perder no caminho haha!!

Assim, da primeira integral, temos:

∫ 0 1 3 x d x = 3 x ln ⁡ 3     1 0 = 3 ln ⁡ 3 + 1 ln ⁡ 1 = 4 ln ⁡ 3

E, da segunda integral:

∫ 1 2 3 x d x = 3 ∫ 1 2 1 x d x = 3 ln ⁡ x     1 0 = 3 ln ⁡ 2

Assim, temos que nossa área é dada por:

A = 4 ln ⁡ 3 + 3 ln ⁡ 2

Para a última dessa questão, foi fácil né?! ;)

Valeeeeeu!!

Resposta

A = 4 ln ⁡ 3 + 3 ln ⁡ 2

Exercícios de Livros Relacionados

Use um gráfico para dar uma estimativa grosseira da área da região que fica abaixo da curva dada. A seguir, ache a área exata y = sin ⁡ x , 0 ≤ x ≤ π
Use um gráfico para dar uma estimativa grosseira da área da região que fica abaixo da curva dada. A seguir, ache a área exata y = x - 4 , 1 ≤ x ≤ 6
Os economistas usam uma distribuição acumulada chamada curva de Lorenz para descrever a distribuição de renda entre as famílias em um dado país. Tipicamente, uma curva de Lorenz é definida no interval