Esboce a região delimitada pelas curvas dadas. Decida quando integrar em relação a x ou a y . Desenhe um retângulo aproximadamente típico e coloque sua altura e sua largura. Então, calcule a área da região.

13   y = x 2 3 ,             y = 3 - x ,             x ≥ 0

Passo 1

Faaaaala meu/minha consagradx!! Beleza?? Seguinte, vamos devagarinho aqui... parte por parte sobre o que a questão pede.

Primeiramente vamos esboçar a curva y = x 2 / 3 e a curva y = 3 - x em um mesmo gráfico:

Analisando ainda mais a figura, vemos que a região delimitada entre as curvas é essa aqui ó:

Tá... Mas e esse “retângulo aproximadamente típico” que a questão pede??

Ele não é nada mais e nada menos do que um retângulo em que a altura equivale a diferença entre as duas funções e a largura é a variação do no eixo x , ou seja, Δ x . Para ficar mais fácil de entender, podemos ver:

Passo 2

Ok, mas e agora???

Agora vamos procurar os limites de integração!! Para isso, esses limites serão as interseções entre as curvas.

Não entendeu?? Caaalma!!

Para descobrir os pontos de interseção das curvas é basicamente igualar as duas funções e aí descobriremos os pontos em que elas se tocam!!! ;D

Então, igualando as funções, temos:

x 2 3 = 3 - x

Ou seja, há uma interseção em x = 1 . Para x > 1 ,     A = ∞

Desenvolvendo essa equação, encontramos:

1 3 x - x 2 3 = 0

Passo 3

Assim, fazendo a integral de 0 a 1 , temos:

∫ 0 1 1 3 x - x 2 3 d x

Agora vamos desenvolver beem devagarinho para a gente não conseguir ter medo de se perder no caminho haha!!

Assim, temos:

A = ∫ 0 1 1 3 x d x - ∫ 0 1 x 2 3 d x

Da primeira integral, temos:

∫ 0 1 1 3 x d x ∴ ∫ 0 1 3 - x d x

Por substituição, fazemos u = - x . Logo:

∫ 0 - 1 - 3 u d u ∴ 3 u ln ⁡ 3   0 - 1 ∴ 1 ln ⁡ 3 - 1 3 ln ⁡ 3 = 2 3 ln ⁡ 3

Agora, da segunda integral, temos:

∫ 0 1 x 2 3 d x ∴ 1 3 ∫ 0 1 x 2 d x ∴ 1 3 x 3 3   0 - 1 ∴ 1 9 1 - 0 = 1 9

Assim, temos que:

A = 2 3 ln ⁡ 3 - 1 9

Viu como é simples haha ;)

Vamos para a próxima!!

Resposta

A = 2 3 ln ⁡ 3 - 1 9

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