Esboce a região delimitada pelas curvas dadas. Decida quando integrar em relação a x ou a y . Desenhe um retângulo aproximadamente típico e coloque sua altura e sua largura. Então, calcule a área da região.

14   y = 4 x ,             y = 1 - x ,             y ≥ 0

Passo 1

Olha a gente de novo aeee!! Beleza?? Seguinte, vamos devagarinho aqui... parte por parte sobre o que a questão pede.

Primeiramente vamos esboçar a curva y = 4 x e a curva y = 1 - x em um mesmo gráfico:

Analisando ainda mais a figura, vemos que a região delimitada entre as curvas é essa aqui ó:

Tá... Mas e esse “retângulo aproximadamente típico” que a questão pede??

Ele não é nada mais e nada menos do que um retângulo em que a altura equivale a diferença entre as duas funções e a largura é a variação do no eixo x , ou seja, Δ x . Para ficar mais fácil de entender, podemos ver:

Passo 2

Ok, mas e agora???

Agora vamos procurar os limites de integração!! Para isso, esses limites serão as interseções entre as curvas.

Não entendeu?? Caaalma!!

Para descobrir os pontos de interseção das curvas é basicamente igualar as duas funções e aí descobriremos os pontos em que elas se tocam!!! ;D

Mas antes, vamos só enxergar melhor a função y = 4 x :

  y = 4 x ∴ log 4 ⁡ y = x ∴ x = ln ⁡ y ln ⁡ 4

Então, igualando as funções, temos:

ln ⁡ y ln ⁡ 4 = 1 - y ∴

ln ⁡ y = ln ⁡ 4 - y ln ⁡ 4 ∴

ln ⁡ y + y ln ⁡ 4 = ln ⁡ 4 ∴

ln ⁡ y + ln ⁡ 4 y = ln ⁡ 4 ∴

ln ⁡ 4 y y = ln ⁡ 4 ∴

4 y y = e ln ⁡ 4 ∴

4 y y = 4 ∴

y = 1

Ou seja, há uma interseção em y = 1 . Para y > 1 ,     A → ∞

Passo 3

Assim, fazendo a integral de 0 a 1 , temos:

A = ∫ 0 1 ( 1 - y ) - ln ⁡ y ln ⁡ 4 d y

Agora vamos desenvolver beem devagarinho para a gente não conseguir ter medo de se perder no caminho haha!!

Assim, temos:

A = ∫ 0 1 ( 1 - y ) d y - ∫ 0 1 ln ⁡ y ln ⁡ 4 d y

Da primeira integral, temos:

∫ 0 1 ( 1 - y ) d y ∴ ∫ 0 1 1 d y - ∫ 0 1 y d y ∴ y - y 2 2   1 0 = 1 2

Agora, da segunda integral, temos:

∫ 0 1 ln ⁡ y ln ⁡ 4 d y ∴ 1 ln ⁡ 4 ∫ 0 1 ln ⁡ y d y

Aplicando integral por partes, sabemos que:

∫ u v ' = u v - ∫ v u '

Assim, nesse caso temos que:

  • u = ln ⁡ y
  • d v = 1
  • d u d y = u ' = 1 y
  • v = y

Logo, substituindo temos:

1 ln ⁡ 4 ∫ 0 1 ln ⁡ y d y = y ln ⁡ y - ∫ 0 1 y d y y ∴

1 ln ⁡ 4 y ln ⁡ y - y   1 0 ∴

1 ln ⁡ 4 lim y → 1 ⁡ y ln ⁡ y - lim y → 0 ⁡ y ln ⁡ y - ( 1 - 0 )

Se liga que esses dois limites vão resultar em zero!! Isso facilita muito pra gente haha!

Assim, a nossa integral resulta em:

∫ 0 1 ln ⁡ y ln ⁡ 4 d y = - 1 ln ⁡ 4

Dessa forma, nossa área é dada por:

A = 1 2 - - 1 ln ⁡ 4 ∴ A = ln ⁡ 4 + 1 ln ⁡ 4

Um pouquinho complicada, mas não impossível né??

Vamos para a próxima!!

Resposta

A = ln ⁡ 4 + 1 ln ⁡ 4

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