2) Esboce a região delimitada pelas curvas e decida se a integração deve ser feita com relação a variável x ou y . Desenhe um retângulo típico com sua altura e largura. Finalmente ache a área da região.

a) y = x + 1 , y = 9 - x 2 , x = - 1 , x = 2

Passo 1

Faaaaala, galerinha! Tudo certinho com vocês? Bora lá resolver mais uma questão!!

Esse é um exercício clássico de cálculo de área, uma das aplicações mais importantes da integração de funções. E como o objetivo é o cálculo da área, vamos aplicar nossas curvas em um gráfico para que possamos entender qual a área que deve ser calculada.

Inserindo y = x + 1 no gráfico:

Agora, vamos inserir y = 9 - x 2 :

Para finalizar, vamos inserir x = - 1 e x = 2 :

Ou seja, a área que queremos calcular é a área cinza, onde x = - 1 e x = 4 é o intervalo da nossa integração:

Como tanto as curvas quanto o intervalo de integração estão em função de x , nossa integral deve ser com a variável x .

A partir de agora, podemos voltar para o conceito normal de área por integral:

Quando realizamos a integração de uma função qualquer entre os pontos definidos a e b , encontramos a sua área.

Então, se integramos a curva y = 9 - x 2 (que chamaremos de f ( x ) a partir de agora) entre os pontos - 1 e 2 , obteremos a seguinte área hachurada:

Vamos chamar essa área de A 1 .

Da mesma forma, se integrarmos a curva y = x + 1 (que chamaremos de g ( x ) a partir de agora) entre os pontos - 1 e 2 , obteremos a seguinte área hachurada:

Vamos chamar essa área de A 2 .

Como queremos encontrar a área pintada de cinza, com certeza você já percebeu que é só subtrair A 2 de A 1 .

Matematicamente, o que precisamos fazer então, é integrar a diferença entre f ( x ) e g ( x ) no intervalo de - 1 a 2 :

∫ - 1 2 f x - g x   d x

Passo 2

A partir de agora, vamos calcular a integral definida!

∫ - 1 2 9 - x 2 - ( x + 1 )   d x

Podemos simplificar para:

∫ - 1 2 - x 2 - x + 8   d x

Como há a subtração dentro da integral:

∫ - 1 2 - x 2   d x - ∫ - 1 2 x   d x + ∫ - 1 2 8   d x

E como temos constantes multiplicando as funções:

- 1 ∫ - 1 2 x 2   d x - ∫ - 1 2 x   d x + 8 ∫ - 1 2 1   d x

E agora podemos integrar:

- 1 * x 3 3 - x 2 2 + 8 x |   2   - 1  

Simplificando:

- x 3 3 - x 2 2 + 8 x |   2   - 1  

Passo 3

Como essa integral é definida, vamos aplicar o intervalo:

- 2 3 3 - 2 2 2 + 8 * ( 2 ) - - - 1 3 3 - - 1 2 2 + 8 - 1

Calculando:

39 2   u . a .

Ufa! Terminamos!

Pra essa questão é isso pessoal! Bora pra mais uma?

Resposta

Respostas no desenvolvimento do exercício.

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