2) Esboce a região delimitada pelas curvas e decida se a integração deve ser feita com relação a variável x ou y . Desenhe um retângulo típico com sua altura e largura. Finalmente ache a área da região.

c) y = x 2 ,   y = x 4

Passo 1

Olá, pessoal! Tudo bem com vocês? Estou muito animada para responder essa questão. Então vamos nessa?

Esse é um exercício clássico de cálculo de área, uma das aplicações mais importantes da integração de funções. E como o objetivo é o cálculo da área, vamos aplicar nossas curvas em um gráfico para que possamos entender qual a área que deve ser calculada.

Inserindo y = x 2 no gráfico:

Agora, vamos inserir y = x 4 :

Perfeito! Mas e agora, qual o próximo passo? Vamos trabalhar melhor nisso...

Passo 2

Agora que conhecemos nossas curvas, precisamos saber qual é o intervalo que a integração será realizada. Para isso, vamos igualar as funções e verificar em que pontos elas se cruzam:

x 2 = x 4

x 2 = x 2 * x 2

1 = x 2

x = ± 1

Portanto, o intervalo da nossa integração será entre os pontos x = 1 e x = - 1 .

Ou seja, a área que queremos calcular é a área cinza, onde x = - 1 e x = 1 é o intervalo da nossa integração:

Como tanto as curvas quanto o intervalo de integração estão em função de x , nossa integral deve ser com a variável x .

Matematicamente, o que precisamos fazer, é integrar a diferença entre f ( x ) e g ( x ) no intervalo de - 1 a 1 :

∫ - 1 1 f x - g x   d x

Passo 3

A partir de agora, vamos calcular a integral definida!

∫ - 1 1 x 2 - ( x 4 )   d x

Como há a subtração dentro da integral:

∫ - 1 1 x 2   d x - ∫ - 1 1 x 4   d x

E agora podemos integrar:

x 3 3 - x 5 5 |   1 - 1

Passo 4

Como essa integral é definida, vamos aplicar o intervalo:

1 3 3 - 1 5 5 - - 1 3 3 - - 1 5 5

Simplificando:

1 3 - 1 5 - - 1 3 + 1 5

Calculando:

5 - 3 15 - - 5 + 3 15 = 2 + 2 15 = 4 15   u . a .

Muito legal, né?

Pra essa questão é isso pessoal! Bora pra mais uma?

Resposta

4 15   u . a .

Exercícios de Livros Relacionados

Use um gráfico para dar uma estimativa grosseira da área da região que fica abaixo da curva dada. A seguir, ache a área exata y = sin ⁡ x , 0 ≤ x ≤ π
Use um gráfico para dar uma estimativa grosseira da área da região que fica abaixo da curva dada. A seguir, ache a área exata y = x - 4 , 1 ≤ x ≤ 6
Os economistas usam uma distribuição acumulada chamada curva de Lorenz para descrever a distribuição de renda entre as famílias em um dado país. Tipicamente, uma curva de Lorenz é definida no interval