2) Esboce a região delimitada pelas curvas e decida se a integração deve ser feita com relação a variável x ou y . Desenhe um retângulo típico com sua altura e largura. Finalmente ache a área da região.

d) x + y = 1 ,   x + y = 1

Passo 1

Olá, pessoal! Tudo bem com vocês? Estou muito animada para responder essa questão. Então vamos nessa?

Esse é um exercício clássico de cálculo de área, uma das aplicações mais importantes da integração de funções. E como o objetivo é o cálculo da área, vamos aplicar nossas curvas em um gráfico para que possamos entender qual a área que deve ser calculada.

Mas claro, antes de plotar a curva, precisamos isolar uma das duas variáveis! Como há somas simples entre x e y , podemos isolar qualquer uma das duas. E como somos mais habituados com x na variável, utilizaremos ela, isolando y .

Primeiro para x + y = 1 :

y = 1 - x

y = 1 - x 2

y = 1 2 - 2 1 x + x 2

y = 1 - 2 x + x

Inserindo y = 1 - 2 x + x no gráfico:

Agora, vamos para x + y = 1 :

y = 1 - x

Inserindo y = 1 - x no gráfico:

Perfeito! Mas e agora, qual o próximo passo? Vamos trabalhar melhor nisso...

Passo 2

Agora que conhecemos nossas curvas, precisamos saber qual é o intervalo que a integração será realizada. Para isso, vamos igualar as funções e verificar em que pontos elas se cruzam:

1 - 2 x + x = 1 - x

2 x - 2 x = 0

2 x = 2 x

2 x 2 = 2 x 2

4 x 2 = 4 x

4 x 2 - 4 x = 0

4 x x - 1 = 0

Então:

4 x = 0

x = 0

E, também:

x - 1 = 0

x = 1

Portanto, o intervalo da nossa integração será entre os pontos x = 0 e x = 1 .

Ou seja, a área que queremos calcular é a área cinza, onde x = 0 e x = 1 é o intervalo da nossa integração:

Como tanto as curvas quanto o intervalo de integração estão em função de x , nossa integral deve ser com a variável x .

Matematicamente, o que precisamos fazer, é integrar a diferença entre f ( x ) e g ( x ) no intervalo de 0 a 1 :

∫ 0 1 f x - g x   d x

Passo 3

A partir de agora, vamos calcular a integral definida!

∫ 0 1 1 - x - 1 - 2 x + x   d x

∫ 0 1 1 - x - 1 + 2 x - x   d x

Como há a subtração e soma dentro da integral:

∫ 0 1 1   d x - ∫ 0 1 x   d x - ∫ 0 1 1   d x + 2 ∫ 0 1 2 x   d x - ∫ 0 1 x   d x

E agora podemos integrar:

x - x 2 2 - x + 4 3 x 3 2 - x 2 2 |   1 0

Passo 4

Como essa integral é definida, vamos aplicar o intervalo:

1 - 1 2 - 1 + 4 3 1 3 2 - 1 2 - 0 - 0 2 - 0 + 4 3 0 3 2 + 0 2

Simplificando:

- 1 + 4 3 - 0

Calculando:

- 3 + 4 3 = 1 3   u . a .

Muito legal, né?

Pra essa questão é isso pessoal! Bora pra mais uma?

Resposta

1 3   u . a .

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