2) Esboce a região delimitada pelas curvas e decida se a integração deve ser feita com relação a variável x ou y . Desenhe um retângulo típico com sua altura e largura. Finalmente ache a área da região.

e) y = 1 x ,   y = 1 x 2 ,   x = 2

Passo 1

Olá, pessoal! Tudo bem com vocês? Estou muito animada para responder essa questão. Então vamos nessa?

Esse é um exercício clássico de cálculo de área, uma das aplicações mais importantes da integração de funções. E como o objetivo é o cálculo da área, vamos aplicar nossas curvas em um gráfico para que possamos entender qual a área que deve ser calculada.

Inserindo y = 1 x no gráfico:

Agora, vamos inserir y = 1 x 2 no gráfico:

Por fim, vamos colocar x = 2 no gráfico:

Perfeito! Mas e agora, qual o próximo passo? Vamos trabalhar melhor nisso...

Passo 2

Você viu que legal o motivo de termos x = 2 no gráfico? Isso mesmo, ele é um dos limites da nossa integração!

Portanto só precisamos encontrar o outro limite e, para isso, vamos igualar as funções:

1 x = 1 x 2

x 2 = x

x = 1

Portanto, o intervalo da nossa integração será entre os pontos x = 1 e x = 2 .

Bacana, né?

Ou seja, a área que queremos calcular é a área cinza, onde x = 1 e x = 2 é o intervalo da nossa integração:

Como tanto as curvas quanto o intervalo de integração estão em função de x , nossa integral deve ser com a variável x .

Matematicamente, o que precisamos fazer, é integrar a diferença entre f ( x ) e g ( x ) no intervalo de 1 a 2 :

∫ 1 2 f x - g x   d x

Passo 3

A partir de agora, vamos calcular a integral definida!

∫ 1 2 1 x - 1 x 2   d x

Como há a subtração dentro da integral:

∫ 1 2 1 x   d x - ∫ 1 2 1 x 2   d x

E agora podemos integrar:

ln ⁡ x - 1 x |   2 1

Passo 4

Como essa integral é definida, vamos aplicar o intervalo:

ln ⁡ 2 + 1 2 - ln ⁡ 1 - 1

Simplificando:

ln ⁡ 2 + 1 2 - 1

Calculando:

ln ⁡ 2 - 1 2   u . a .

Muito legal, né?

Pra essa questão é isso pessoal! Bora pra mais uma?

Resposta

ln ⁡ 2 - 1 2   u . a .

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