2) Esboce a região delimitada pelas curvas e decida se a integração deve ser feita com relação a variável x ou y . Desenhe um retângulo típico com sua altura e largura. Finalmente ache a área da região.

f) x = 2 y 2 ,   x + y = 1

Passo 1

Olá, pessoal! Tudo bem com vocês? Estou muito animada para responder essa questão. Então vamos nessa?

Esse é um exercício clássico de cálculo de área, uma das aplicações mais importantes da integração de funções. E como o objetivo é o cálculo da área, vamos aplicar nossas curvas em um gráfico para que possamos entender qual a área que deve ser calculada.

Inserindo x = 2 y 2 no gráfico:

Perceba que há uma diferença nesse gráfico. O termo isolado é x e a variável é y . Muito legal, né?

Isso é um indício do que devemos fazer com a outra função. Vamos isolar x :

x + y = 1

x = 1 - y

Agora, vamos inserir x = 1 - y no gráfico:

Perfeito! Mas e agora, qual o próximo passo? Vamos trabalhar melhor nisso...

Passo 2

A partir de agora, precisamos definir qual o intervalo da nossa integração. Uma dica legal é virar o nosso gráfico em 90°. Ajuda na visualização do que precisamos encontrar:

Para sabermos o intervalo, vamos igualar as funções:

2 y 2 = 1 - y

2 y 2 + y - 1 = 0

Aplicando Bhaskara:

y = 1 2 e y = - 1

Portanto, o intervalo da nossa integração será entre os pontos y = 1 2 e y = - 1 .

Bacana, né?

Ou seja, a área que queremos calcular é a área cinza, onde y = 1 2 e y = - 1 é o intervalo da nossa integração:

Como tanto as curvas quanto o intervalo de integração estão em função de y , nossa integral deve ser com a variável y .

Matematicamente, o que precisamos fazer, é integrar a diferença entre f ( y ) e g ( y ) no intervalo de 1 2 a - 1 :

∫ - 1 1 2 f y - g y   d x

Passo 3

A partir de agora, vamos calcular a integral definida!

∫ - 1 1 2 1 - y - 2 y 2   d y

Como há a subtração e constantes multiplicando dentro da integral:

∫ - 1 1 2 1   d y - ∫ - 1 1 2 y   d y - 2 ∫ - 1 1 2 y 2   d y

E agora podemos integrar:

y - y 2 2 - 2 y 3 3 |   1 2 - 1

Passo 4

Como essa integral é definida, vamos aplicar o intervalo:

1 2 - 1 2 2 2 - 2 1 2 3 3 - - 1 - - 1 2 2 - 2 - 1 3 3

Simplificando:

1 2 - 1 8 - 1 12 + 1 + 1 2 - 2 3

Calculando:

48 - 12 - 8 + 96 + 48 - 64 96 = 108 96 = 9 8   u . a .

Muito legal, né?

Pra essa questão é isso pessoal! Bora pra mais uma?

Resposta

9 8   u . a .

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