Esboce a região delimitada pelas curvas e decida se a integração deve ser feito com relação a variável x ou y. Desenhe um retângulo típico com sua altura e largura. Finalmente ache a área de integração.

h) y = sin ⁡ π x ,     y = x 2 - x ,     x = 2

Passo 1

Faaaaaala, galera... Tranquileba??? Bora Responder Aí essa questão

Seguinte... Temos, das funções dadas, o seguinte gráfico.

Bom... Visivelmente é mais fácil para nós fazermos a integração sobre a variável x. Mas a integral deverá ser tomada em dois passos, ou seja, para a região acima do eixo x e abaixo do eixo x.

Bora pro próximo passo?

Passo 2

Obrigado por vir

Os dois passos são:

Para a primeira região, a integração é regida pela função verde, que de acordo com a primeira imagem, é a parábola. E o limite de integração em x é, de acordo, com a imagem, de [1,2]. Assim:

R 1 = ∫ a b f x d x = ∫ 1 2 x 2 - x d x

R 1 = x 3 3 - x 2 2 1 2

R 1 = 2 3 3 - 2 2 2 - 1 3 - 1 2

R 1 = 2 2 2 3 - 1 2 - - 1 6

R 1 = 2 2 6 + 1 6

R 1 = 5 6

E para a outra parte:

Vemos que R_2 é regida pela função em roxo, mostrada na primeira imagem. E os limites de integração são os mesmos de R_1. Assim:

R 2 = ∫ 1 2 sin ⁡ π x d x

Façamos π x = u → d u = π d x e para x = 1 → u = π , e para x = 2 → u = 2 π . Logo:

R 2 = 1 π ∫ π 2 π sin ⁡ u d u

R 2 = 1 π - cos ⁡ u π 2 π

R 2 = 1 π - 1 - + 1 = - 2 π

R 2 = - π 2

Passo 3

Assim a área é:

A = R 1 + R 2

A = 5 6 - π 2

A = 5 π - 12 6 π

Resposta

A região está no passo 1

A variável de integração é x.

E a área é:

A = 5 π - 12 6 π

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