Exercícios Resolvidos de Área entre Curvas

Seja R a região plana dada por

R = x , y ∈ R 2 x ≥ 2 ,   1 ≤ y ≤ 1 + e - 2 x + 1

a) Esboce a região R . Indique explicitamente os pontos de interseção entre as curvas.

b) Escreva a área da região R através de uma integral na variável x .

c) Calcule a área da região R .

Passo 1

Bom, pra começar essa questão, vamos partid o mais fácil. Temos que

x ≥ 2  

1 ≤ y

y ≤ 1 + e - 2 x + 1

Essa dus primeiras são mais ismples, concorda, que seria

A região em vermelho nos mostra x ≥ 2 , enquanto a azul nos mostra y ≥ 1 . Então Agora precisamos ver a outra restrição que temos em y , que seria y ≤ 1 + e - 2 x + 1   . Ou seja, dessa vez a região vai estar abaixo de 1 + e - 2 x + 1 .

Observa que temos a função exponencial, como o +1 na frente, o que nos indica que ela está deslocada 1 unidade em direção a y positivo, ou seja

e - 2 x + 1

e - 2 x + 1

Tranquilo, né? Agora é só juntar tudo!

+ =

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

A letra a ainda nos pede para determinarmos os pontos onde as curvas se encontram. Tranquilo! É só sair igualando as funções!

A primeira interseção é entre o x = 2 e y = 1 , que é obviamente no ponto 2,1 . A segunda vai ocorrer entre x = 2 e y = 1 + e - 2 x + 1

y = 1 + e - 2 × 2 + 1

y = 1 + e - 3

Tranquilo?? Temos então

Lindo, né?

Passo 3

Partindo pra letra b) agora, ele só nos pode pra escrever a área através de uma integral certo (na varaável x!! Atenção nisso!!)? Bora lá então.

Se nós fizermos

A = ∫ 2 ∞ 1 + e - 2 x + 1 d x

Isso seríamos nós calculando toda a área abaixo da função y = 1 + e - 2 x + 1   (até chegar no y = 0 ) , indo de x = 2 até x = ∞ , ou seja

Para corrigir isso, fazemos então a função y = 1 + e - 2 x + 1 menos a função y = 1 , ficando então

Então nossa integral vai ser

A = ∫ 2 ∞ 1 + e - 2 x + 1 - 1 d x

A = ∫ 2 ∞ e - 2 x + 1 d x

Passo 4

Por último, mas não menos importante, a letra c) nos pede pra calcular essa integral

Por substituição simples temos

A = ∫ 2 ∞ e - 2 x + 1 d x

u = - 2 x + 1 → d u = - 2 d x → d x = - d u 2

= ∫ 2 ∞ e - 2 x + 1 d x = - 1 2 ∫ e u d u

= - 1 2 e u

Substituindo o u   pelo valor incial temos

- e - 2 x + 1 2 | ∞ 0

Vamos ter que calcular um limitinho aí

lim t → ∞ ⁡ - e - 2 x + 1 2 | t 0 = lim t → ∞ ⁡ - 1 2 e - 2 t + 1 + 1 2 e - 3 = 0 + 1 2 e - 3 = 1 2 e 3

Resposta

a )  

b )   A = ∫ 2 ∞ e - 2 x + 1 d x

c )   1 2 e 3

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