Exercícios Resolvidos de Área entre Curvas

  1. Esboce a região do plano R delimitada pela parábola y = x 2 , pela reta y = 4 x - 4 e pelo eixo O x .
  2. Calcule o valor da área da região R .

Passo 1

(a)

Bom, aqui a princípio nenhuma grande dificuldade, só temos que esboçar uma parábola e uma reta.

A essa altura do campeonato, já estamos carecas de ver a parábola y = x 2 :

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

E pra esboçar a reta y = 4 x - 4 podemos ver onde ela cruza os eixos coordenados:

c r u z a   o   e i x o   y → x = 0 → y = - 4

c r u z a   o   e i x o   x → y = 0 → 4 x - 4 = 0 → x = 1

Portanto a reta passa pelos pontos 0 ,   - 4 e 1 ,   0 .

Aqui está ela:

Passo 3

A região R é limitada pela parábola, pela reta e pelo eixo x , então ela vai ser assim:

Passo 4

(b)

Pela figura deu pra ver que a parábola e a reta se interceptam em um ponto, então vamos achar que ponto é esse!

Igualando as equações das curvas

x 2 = 4 x - 4

x 2 - 4 x + 4 = 0

Repare que isso dá:

x - 2 2 = 0

⇒ x = 2

Beleza, então as curvas se interceptam em x = 2 .

Passo 5

Agora já podemos montar a integral pra calcular a área. Na verdade, vão ser duas integrais.

Com x ∈ 0 ,   1 , quem está limitando a região R é a parábola (em cima) e o eixo x (embaixo).

Com x ∈ 1 ,   2 , a região R está entre a parábola (em cima) e a reta (embaixo).

Então a área da região R vai ser:

∫ 0 1 x 2 d x + ∫ 1 2 x 2 - 4 x - 4 d x

Passo 6

Show, agora é só integrar! :)

A primeira integral é:

∫ 0 1 x 2 d x = x 3 3 0 1 = 1 3

E a segunda:

∫ 1 2 x 2 - 4 x - 4 d x = ∫ 1 2 x 2 - 4 x + 4 d x

= x 3 3 - 2 x 2 + 4 x 1 2 = 8 3 - 8 + 8 - 1 3 + 2 - 4

= 7 3 - 2 = 1 3

Juntando as duas, a área vai dar:

1 3 + 1 3 = 2 3

Resposta

(a)

(b)

2 3

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