Exercícios Resolvidos de Área entre Curvas

Área entre curvas

A reta de equação y = 1 - x divide a região compreendida entre as parábolas de equações y = 2 x 2 - 2 x e y = - 2 x 2 + 2 em duas partes. Mostre que as áreas das regiões obtidas são iguais e calcule o seu valor.

Passo 1

Vamos começar achando onde as parábolas se encontram para podermos fazer o gráfico disso direito.

2 x 2 - 2 x = - 2 x 2 + 2

4 x 2 - 2 x - 2 = 0

2 x 2 - x - 1 = 0

Resolvendo essa equação vamos ter

x 1 = - 1 2

x 2 = 1

O gráfico dessas duas parábolas vai ficar

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Vamos agora descobrir onde a reta corta cada uma das parábolas, primeiro a parábola vermelha.

2 x 2 - 2 x = 1 - x

2 x 2 - x - 1 = 0

Opa caiu na mesma equação de segundo grau, então a reta passa no ponto de encontro entre as parábolas, o gráfico vai ficar.

Passo 3

Vamos achar cada uma das áreas agora, primeiro a área entre a reta e a parábola azul, como vai ser a integral?

∫ a b f c i m a - f b a i x o

A 1 = ∫ - 1 / 2 1 - 2 x 2 + 2 - 1 - x d x = ∫ - 1 / 2 1 - 2 x 2 + x + 1 d x

A 1 = - 2 x 3 3 + x 2 2 + x x = - 1 / 2 1 = - 2 . 1 3 3 + 1 2 2 + 1 - - 2 - 1 2 3 3 + - 1 2 2 2 + - 1 2

A 1 = - 2 3 + 1 2 + 1 - 1 12 + 1 8 - 1 2 = 6 + 3 - 4 6 - 2 + 3 - 12 24

A 1 = 5 6 - - 7 24 = 5 6 + 7 24 = 20 + 7 24 = 27 24 = 9 8

Passo 4

Agora vamos para área entre a reta e a parábola vermelha, como vai ser a integral?

∫ a b f c i m a - f b a i x o

A 2 = ∫ - 1 / 2 1 1 - x - 2 x 2 - 2 x d x = ∫ - 1 / 2 1 - 2 x 2 + x + 1 d x

Que dá a mesma integral dali de cima, então não precisamos resolver sabemos que

A 2 = 9 8

Isso nos diz que as áreas são iguais.

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