Calcule a área da região que não contém a origem, sendo limitada pela rela x = 1 e pela circunferência x 2 + y 2 = 4 .

Passo 1

Eaew, belezinha?

Temos que calcular a área da região delimitada pela reta x = 1 e a circunferência x 2 + y 2 = 4 (escolhendo o pedaço que não contém a origem), a região é a seguinte

O cálculo da área pode ser feito utilizando integração dupla como

A = ∫ R ∫ d x d y

Ou seja, é apenas o trabalho de calcular os limites de integração! Vamos procurar uma maneira conveniente de fazer isso! Aqui é interessante utilizar coordenadas polares para reescrever nosso problema, mesmo que possa ser feito diretamente! Saca só!

Passo 2

Usando que

x = r   c o s ( θ ) e y = r   s e n ( θ )

e o jacobiano em coordenadas polares que é conhecido como

∂ ( x , y ) ∂ ( r , θ ) = r

podemos escrever a integral como

A = ∫ P ∫ r d r d θ

Para encontrar os limites de integração, precisamos reescrever a nossa região P em coordenadas polares. Note que quando x = 1 , temos que

1 = r   c o s ( θ )

e, portanto

r = 1 / c o s ( θ )

e o valor máximo do raio é simplesmente o raio da circunferência dado por r = 2 (uma reta constante). A interseção da reta r = 1 / c o s ( θ ) com a circunferência r = 2 , nos dará os outros limites como

c o s ( θ ) = 1 2

devido a paridade da função cosseno temos dois ângulos que obedecem a equação acima, os resultados são

θ = ± π / 3

A região P é então representada como

e, portanto, os limites da nova integral são

A = ∫ - π / 6 π / 6 ∫ 1 / c o s ( θ ) 2 r d r d θ

Como nossa região não é retangular a ordem da integração importa, e devemos integrar primeiro em r já que os limites dependem de θ . Vamos lá!

Passo 3

Vamos começar com a integral em r , temos que

∫ 1 / c o s ( θ ) 2 r d r

podemos identificar que

∫ 1 / c o s ( θ ) 2 r d r = 1 2 r 2 | 1 / c o s ( θ ) 2 = 1 2 [ 4 - 1 c o s 2 ( θ ) ]

Temos então que nossa integral se reduz à

A = ∫ - π / 3 π / 3 ∫ 1 / c o s ( θ ) 2 r d r d θ = 1 2 ∫ - π / 3 π / 3 [ 4 - 1 c o s 2 ( θ   ) ] d θ

Vamos resolver agora a integral que restou!

Passo 4

Temos que resolver

A = 1 2 ∫ - π / 3 π / 3 [ 4 - 1 c o s 2 ( θ   ) ] d θ = 2 ∫ - π / 3 π / 3 d θ - 1 2 ∫ - π / 3 π / 3 1 c o s 2 ( θ ) d θ

para identificar a segunda integral devemos lembrar que

1 c o s 2 ( θ ) = s e c 2 ( θ )

e, principalmente que

d d θ [ t g ( θ ) ] = s e c 2 ( θ )

sendo assim, temos que

∫ - π / 6 π / 6 1 c o s 2 ( θ ) d θ = ∫ - π / 6 π / 6 s e c 2 ( θ ) d θ = t g ( θ ) | - π / 6 π / 6

Avaliando os limites, temos que

∫ - π / 6 π / 6 1 c o s 2 ( θ ) d θ = 2 3

A segunda integral é mais simples, podemos identificar diretamente que

∫ - π / 3 π / 3 d θ = θ | - π / 6 π / 6 = 2 π / 3

E, portanto, a área da região é dada por

A = 4 π 3 - 3

A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

A = 2 π 3 - 3

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