Exercícios Resolvidos de Área entre Curvas

Área entre Curvas

( a ) Seja f x = - x 2 + 2 x e considerar a reta r de equação y = c x , c > 0 . Determine o valor de c para o qual as áreas A 1 e A 2 mostradas na figura são iguais.

Passo 1

Vamos chamar o ponto onde a reta encontra a parábola pela segunda vez de x = D por enquanto. Ora, a área A 1 pode ser calculada como o espaço entre parábola e reta de x = 0 até x = D . Já a área A 2 deve ser dividida em dois pedaços um que vai do eixo x até a reta, no intervalo de x = 0 até x = D , e outro que vai do eixo x até a parábola, com x entre D e 2 , que é a segunda raiz da parábola. Vamos armar as duas equações de área:

A 1 = ∫ 0 D f x - c x d x

A 2 = ∫ 0 D c x d x + ∫ D 2 f x d x

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Vamos agora calcular cara uma das áreas é igualá-las:

A 1 = ∫ 0 D - x 2 + 2 x - c x d x = ∫ 0 D - x 2 + 2 - c x d x

= - x 3 3 + 2 - c x 2 2 [ D 0

= - D 3 3 + 2 - c D 2 2 - 0

= - D 3 3 + 2 - c D 2 2

A 2 = ∫ 0 D c x d x + ∫ D 2 - x 2 + 2 x d x

= c x 2 2 [ D 0 + - x 3 3 + x 2 [ 2 D

= c D 2 2 + - 8 3 + 4 - - D 3 3 + D 2

Passo 3

Nesse momento eu poderia simplesmente igualar as áreas, mas nisso nós caímos numa equação maior e mais difícil de resolver. Mas repara numa coisa, A 1 + A 2 pode ser calculado como a área entre o eixo x e a parábola.

A 1 + A 2 = ∫ 0 2 - x 2 + 2 x d x

= - x 3 3 + x 2 [ 2 0

= - 8 3 + 4 - 0

= 4 3

Se queremos que A 1 seja igual a A 2 temos que fazer com que metade desse valor encontrado seja igual a um dos termos, o que facilita na igualdade. Vou dizer, então, que metade de 4 3 é igual à área calculada em A 1 :

- D 3 3 + 2 - c D 2 2 = 2 3

Agora, o detalhe é relacionar D com c . Bom, D não é o ponto de encontro entre a reta e a parábola do problema? Vamos calcular esse D em função de c :

c x = - x 2 + 2 x

- x 2 + 2 - c x = 0

x 2 - c - x = 0

x 1 = 0   ;   x 2 = 2 - c

Assim, D = 2 - c . Voltamos à igualdade:

- 2 - c 3 3 + 2 - c 2 - c 2 2 = 2 3

2 - c 3 6 = 2 3

2 - c 3 = 4

c = 2 - 4 3

Resposta

c = 2 - 4 3

Esse conteúdo é exclusivo para cadastrados.

Cadastre-se grátis no maior portal de exatas do Brasil!

Relaxa, não vamos publicar nada no seu nome.

  • Resumões direto ao ponto
    Resumões
    direto ao ponto
  • Exercícios resolvidos passo a passo
    Exercícios resolvidos
    passo a passo
  • Videoaulas incríveis
    Videoaulas
    incríveis
  • Aulões Salva-Vidas
    Aulões
    Salva-Vidas

Muita matéria pra estudar?

Dexter Estudando

Cadastre-se para acessar os Resumões Gratuitos

Relaxa, não vamos publicar nada no seu nome.

  • Resumões direto ao ponto
    Resumões
    direto ao ponto
  • Exercícios resolvidos passo a passo
    Exercícios resolvidos
    passo a passo
  • Videoaulas incríveis
    Videoaulas
    incríveis
  • Aulões Salva-Vidas
    Aulões
    Salva-Vidas