Esboce a região delimitada pelas curvas e determine sua área:

a)

y = e x ,   y = x e x ,   x = 0

Passo 1

Eaee!!! Belezinha? Bom... a questão nos pede para esboçar a área delimitadas pelas três equações dadas e, com isso, calcular a área.

Para isso, primeiro vamos esboçar a figura:

Agora, analisando o gráfico, para calcular a área em azul devemos aplicar a seguinte integral:

∫ 0 1 e x - x e x d x

Não entendeu? Então bora junto 😉

Passo 2

Bom... dessa forma, resolvendo a integral, temos:

∫ 0 1 e x - x e x d x = ∫ 0 1 e x d x - ∫ 0 1 x e x d x

Onde:

∫ 0 1 e x d x = e x | 1 0    

E, resolvendo ∫ 0 1 x e x d x por partes, encontramos:

∫ 0 1 x e x d x = x e x | 1 0 - ∫ 0 1 e x d x ∴

∫ 0 1 x e x d x = x e x | 1 0 - e x | 1 0

Passo 3

Nesse sentido, substituindo em ∫ 0 1 e x - x e x d x , temos:

∫ 0 1 e x - x e x d x = e x - x e x + e x 1 0 ∴

∫ 0 1 e x - x e x d x = e - 2

Entendeu direitinho? Responde aee ;)

Resposta

= e - 2

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