Esboce a região delimitada pelas curvas e determine sua área:

b)

y = x 2 e - x ,   y = x e - x

Passo 1

Eaee!!! Belezinha? Bom... a questão nos pede para esboçar a área delimitadas pelas três equações dadas e, com isso, calcular a área.

Para isso, primeiro vamos esboçar a figura:

Agora, analisando o gráfico, para calcular a área em azul devemos aplicar a seguinte integral:

∫ 0 1 x e - x - x 2 e - x d x

Não entendeu? Então bora junto 😉

Passo 2

Bom... dessa forma, resolvendo a integral, temos:

∫ 0 1 x e - x - x 2 e - x d x = ∫ 0 1 x e - x d x - ∫ 0 1 x 2 e - x d x

Onde:

∫ 0 1 x e - x d x = - x e - x - e - x | 1 0    

E, resolvendo ∫ 0 1 x 2 e - x d x por partes, encontramos:

∫ 0 1 x 2 e - x d x = x 2 e - x + 2 x e - x + 2 e - x 1 0

Passo 3

Nesse sentido, substituindo em ∫ 0 1 e x - x e x d x , temos:

∫ 0 1 e x - x e x d x = - x e - x - e - x + x 2 e - x + 2 x e - x + 2 e - x 1 0 ∴

∫ 0 1 e x - x e x d x = 0,1036

Entendeu direitinho? Responde aee ;)

Resposta

= 0,1036

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