Esboce a região R e encontre a sua área:

a )   R = x , y ∈ R 2 ;   x 2 - 1 ≤ y ≤ 0

Passo 1

Olá galerinha, como vocês estão?

Nessa questão recebemos uma região R do plano real, determinada pela desigualdade:

x 2 - 1 ≤ y ≤ 0

A partir disso, precisamos esboçar e determinar a área de R .

Para fazer isso, podemos usar o recurso da integral. Se uma região é definida de tal forma que:

g x ≤ y ≤ f ( x )

Podemos escrever que a área dessa região é dada por:

A = ∫ a b f x - g x d x

onde a e b são determinados pela intersecção de f e g .

Massa!

Vamo nessa!

Passo 2

Vamos começar esboçando a nossa região, temos a desigualdade:

x 2 - 1 ≤ y ≤ 0

Olhando para a desigualdade da esquerda:

y ≥ x 2 - 1

Ou seja, y é a região acima da parábola determinada por:

g x = x 2 - 1

Já analisando a desigualdade da direita encontramos mais uma restrição para R :

y ≤ 0

Logo, temos uma região acima da parábola, porém abaixo do eixo x . Juntando essas duas condições, encontramos:

Muito bom!!

Passo 3

Agora precisamos calcular a área dessa região. Vamos usar aquilo que comentamos no passo 1 :

A = ∫ a b f x - g x d x

Nesse caso, a região é limitada superiormente por:

f x = 0

E, inferiormente, por:

g x = x 2 - 1

As intersecções a e b são dadas por:

x 2 - 1 = 0

∴ x = ± 1

Logo, montamos a integral:

A = ∫ - 1 1 0 - x 2 - 1 d x

=   ∫ - 1 1 1 - x 2 d x

= x - x 3 3 - 1 1

Portanto:

A = 1 - 1 3 3 - - 1 - - 1 3 3

= 2 3 + 2 3

⇒ A = 4 3

Prontinho pessoal! Até a próxima 😊

Resposta

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