Esboce a região R e encontre a sua área:

b )   R = x , y ∈ R 2 ;   0 ≤ y ≤ s e n   x ; 0 ≤ x ≤ 2 π

Passo 1

E aí galerinha, como vocês estão?

Nessa questão recebemos uma região R do plano real, determinada pela desigualdade:

0 ≤ y ≤ s e n   x

com x variando:

0 ≤ x ≤ 2 π

A partir disso, precisamos esboçar e determinar a área de R .

Para fazer isso, podemos usar o recurso da integral. Se uma região é definida de tal forma que:

g x ≤ y ≤ f ( x )

Podemos escrever que a área dessa região é dada por:

A = ∫ a b f x - g x d x

onde a e b são determinados pela intersecção de f e g . Nesse caso, usaremos a desigualdade em x para determinar a e b .

Massa!

Vamo nessa!

Passo 2

Vamos começar esboçando a região:

0 ≤ y ≤ s e n   x

onde:

0 ≤ x ≤ 2 π

Ou seja, estamos tomando a região acima do eixo x e abaixo da função s e n   x no intervalo de 0 a 2 π .

Muito bom!

Passo 3

Pra determinar a área dessa região, vamos usar o recurso da integral junto com a região que esboçamos. Vimos que, pela restrição de y ≥ 0 , temos R entre o eixo x e o s e n   x no intervalo de 0 a π .

Assim:

A = ∫ 0 π s e n   x d x

= - cos ⁡ x 0 π

= - cos ⁡ π - - cos ⁡ 0

Logo:

A = - - 1 - - 1

∴ A = 2

Prontinho! Curtiram a solução?

Responde Aí!

Resposta

2

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