Esboce a região R e encontre a sua área:

c )   R = x , y ∈ R 2 ;   x ≤ y ≤ 3 ; 0 ≤ x ≤ 1

Passo 1

Fala aí pessoal, tudo beleza?

Nessa questão recebemos uma região R do plano real, determinada pela desigualdade:

  x ≤ y ≤ 3

com x variando:

0 ≤ x ≤ 1

A partir disso, precisamos esboçar e determinar a área de R .

Para fazer isso, podemos usar o recurso da integral. Se uma região é definida de tal forma que:

g x ≤ y ≤ f ( x )

Podemos escrever que a área dessa região é dada por:

A = ∫ a b f x - g x d x

onde a e b são determinados pela intersecção de f e g . Nesse caso, usaremos a desigualdade em x para determinar a e b .

Massa!

Vamo nessa!

Passo 2

Vamos começar esboçando a região:

x ≤ y ≤ 3

Ou seja, y está entre as funções:

g x = x

f x = 3

Mas, pela desigualdade dada em x , temos:

0 ≤ x ≤ 1

Portanto, podemos esboçar a região:

Muito bem!

Passo 3

Agora vamos calcular a área dessa região.

Para isso, usamos a integral que comentamos no passo 1 :

A = ∫ a b f x - g x d x

Sendo que temos:

f x = 3 g x = x b = 1 a = 0

Daí, temos:

A = ∫ 0 1 3 - x d x

= 3 x - 2 3 x 3 2 0 1

Logo:

A = 3 ⋅ 1 - 2 3 ⋅ 1

∴ A = 7 3

É isso aí gente, valeeeu!

Resposta

7 3

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