Esboce a região R e encontre a sua área:

d )   R = x , y ∈ R 2 ;   x 2 - 1 ≤ y ≤ x + 1

Passo 1

Fala aí galera, tudo bom?

Nessa questão recebemos uma região R do plano real, determinada pela desigualdade:

  x 2 - 1 ≤ y ≤ x + 1

A partir disso, precisamos esboçar e determinar a área de R .

Para fazer isso, podemos usar o recurso da integral. Se uma região é definida de tal forma que:

g x ≤ y ≤ f ( x )

Podemos escrever que a área dessa região é dada por:

A = ∫ a b f x - g x d x

onde a e b são determinados pela intersecção de f e g .

Massa!

Vamo nessa!

Passo 2

Vamos começar esboçando a região dada. Temos a desigualdade:

x 2 - 1 ≤ y ≤ x + 1

Pelo lado esquerdo dessa desigualdade, y é limitada inferiormente pela função:

g x = x 2 - 1

Que é a equação de uma parábola.

E, pelo lado direito da desigualdade, y é limitada superiormente pela função:

f x = x + 1

Que é a equação de uma reta.

Plotando esses gráficos, temos:

Os pontos de intersecção a e b são determinados igualando as funções f e g . Assim:

x 2 - 1 = x + 1

∴ x 2 - x - 2 = 0

Logo, por inspeção temos as raízes x = 2 e x = - 1 ,

Muito bom!

Passo 3

Agora vamos calcular a área dessa região R .

Para isso, podemos usar a integral que comentamos no passo 1 :

A = ∫ a b f x - g x d x

Sendo que:

f x = x + 1 g x = x 2 - 1 b = 2 a = - 1

Assim, vem:

A = ∫ - 1 2 x + 1 - x 2 - 1 d x

=   ∫ - 1 2 - x 2 + x + 2 d x

= - x 3 3 + x 2 2 + 2 x - 1 2

Logo:

A = - 2 3 3 + 2 2 2 + 2 ⋅ 2 - - - 1 3 3 + - 1 2 2 + 2 ⋅ - 1

= 10 3 - - 7 6

= 27 6

Portanto:

⇒ A = 9 2

Prontinhoo!! Matamos mais uma questãozita 😊Valeu pessoal!

Resposta

9 2

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