Esboce a região R e encontre a sua área:

e )   R = x , y ∈ R 2 ; x ≥ 0   ;     x 3 - x ≤ y ≤ - x 2 + 5 x

Passo 1

E aí gente, tudo tranquilo?

Nessa questão recebemos uma região R do plano real, determinada pela desigualdade:

  x 3 - x ≤ y ≤ - x 2 + 5 x

com x ≥ 0 .

A partir disso, precisamos esboçar e determinar a área de R .

Para fazer isso, podemos usar o recurso da integral. Se uma região é definida de tal forma que:

g x ≤ y ≤ f ( x )

Podemos escrever que a área dessa região é dada por:

A = ∫ a b f x - g x d x

onde a e b são determinados pela intersecção de f e g .

Massa!

Vamo nessa!

Passo 2

Vamos começar esboçando a região dada. Temos a desigualdade:

x 3 - x ≤ y ≤ - x 2 + 5 x

Pelo lado esquerdo dessa desigualdade, y é limitada inferiormente pela função:

g x = x 3 - x

Que é a equação de uma curva do 3 ° grau com raízes x = { - 1 ,   0 ,   + 1 } .

E, pelo lado direito da desigualdade, y é limitada superiormente pela função:

f x = - x 2 + 5 x

Que é a equação de uma parábola com raízes x = 5 e x = 0 .

Plotando esses gráficos, temos:

Como há a restrição x ≥ 0 , a região R está à direita do eixo y . Sendo delimitada, por x = 0 , até o próximo ponto de intersecção. Vamos calculá-lo igualando as equações das curvas:

x 3 - x = - x 2 + 5 x

Dividindo por x em ambos os lados:

x 2 - 1 = - x + 5

x 2 + x - 6 = 0

Logo, x = 2 é raiz.

Assim, a nossa região R é vai de x = 0 até x = 2 .

Muito bom!

Passo 3

Agora vamos calcular a área dessa região R .

Para isso, podemos usar a integral que comentamos no passo 1 :

A = ∫ a b f x - g x d x

Sendo que:

f x = - x 2 + 5 x g x = x 3 - x b = 2 a = 0

Assim, vem:

A = ∫ 0 2 - x 2 + 5 x - x 3 - x d x

=   ∫ 0 2 - x 3 - x 2 + 6 x d x

= - x 4 4 - x 3 3 + 3 x 2 0 2

Logo:

A = - 2 4 4 - 2 3 3 + 3 ⋅ 2 2 - 0

⇒ A = 16 3

Prontinhooo! Curtiram a solução?

Responde Aí!

Resposta

16 3

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