Esboce a região limitada pelas curvas indicadas e encontre sua área:

a )   y = x ;   y = x 1 3

Passo 1

Fala aí pessoal, tudo bem com vocês?

Nessa questão recebemos duas curvas:

y = x y = x 1 3

E, precisamos primeiro esboçar a região entre essas curvas. E, depois, calcular a área dessa região.

Para isso, vamos começar relembrando o gráfico das curvas dadas, e depois encontramos os pontos de intersecção pra delimitar direitinho a região dada.

Pra calcular a área, podemos usar as queridas integrais, usando que:

∫ a b f x - g x d x = A

onde ( f x - g x ) é justamente as curvas que determinam essa área superiormente e inferiormente.

Tranquilo?! Então vamos nessa!

Passo 2

Bom, vamos começar pela reta y = x . É uma reta que passa pela origem, e tem inclinação de 45 ° :

Já o gráfico da curva:

y = x 1 3

Como esses gráficos são de funções fundamentais, é importante conhecermos os seus formatos, beleza?

Agora vamos plotar ambos as curvas em um mesmo gráfico:

Temos uma região delimitada pelas curvas que está acima do eixo x e outa abaixo. Vamos calcular a área de cada uma delas e somar.

Se a gente olhar direitinho, temos 3 pontos de intersecção. Vamos calculá-los. Para isso, igualamos as equações:

x = x 1 3

Além disso, elevando ao cubo em ambos os lados:

x 3 = x

Temos a solução trivial:

x = 0

Daí, dividindo por x dos dois lados:

x 2 = 1

∴ x = ± 1

Portanto, temos três pontos de intersecção:

x = - 1 ,   0 ,   + 1

Massa! Sabendo disso vamos calcular a área 😊

Passo 3

Para calcular a área, vamos utilizar a integral que comentamos no passo 1 .

∫ a b f x - g x d x = A

No intervalo de - 1 a 0 , a função y = x vai por cima de y = x 1 3 , ou seja, é maior do que essa última.

Daí, podemos fazer:

A 1 = ∫ - 1 0 x - x 1 3 d x  

=   x 2 2 - 3 x 4 3 4 - 1 0

Logo:

A 1 =   0 2 - 3 ⋅ 0 4 - - 1 2 2 - 3 - 1 4 3 4

= - 1 2 + 3 4

∴ A 1 = 1 4

A área da região que está acima do eixo x é calculada da mesma forma, porém agora a função y = x 1 3 é maior do que y = x . Assim:

A 2 =   ∫ 0 1 x 1 3 - x d x  

=   3 x 4 3 4 - x 2 2 0 1

Logo:

A 2 =   3 1 4 3 4 - 1 2 2 - 3 ⋅ 0 4 - 0 2 2

∴ A 2 = 3 4 - 1 2

= 1 4

Sendo assim, a área dessas regiões vale:

A = A 1 + A 2

= 1 4 + 1 4

Portanto:

A = 1 2

E aí galera, curtiram a solução? Responde Aí!

Resposta

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