Esboce a região limitada pelas curvas indicadas e encontre sua área:

b )   3 y - x = 8 ;   y = x

Passo 1

E aí galera, tudo tranquilo?

Nessa questão recebemos duas curvas:

3 y - x = 8 y = | x |

E, precisamos primeiro esboçar a região entre essas curvas. E, depois, calcular a área dessa região.

Para isso, vamos começar relembrando o gráfico das curvas dadas, e depois encontramos os pontos de intersecção pra delimitar direitinho a região dada.

Pra calcular a área, podemos usar as queridas integrais, usando que:

∫ a b f x - g x d x = A

onde ( f x - g x ) é justamente as curvas que determinam essa área superiormente e inferiormente.

Tranquilo?! Então vamos nessa!

Passo 2

Bom, vamos começar pela reta:

3 y - x = 8

y = x 3 + 8 3

Ou seja, uma reta que passa pelo ponto 0 , 8 3 e coeficiente angular valendo 1 / 3 . Daí:

Já para y = | x | , temos:

Agora vamos juntar ambas as curvas em um mesmo gráfico:

Temos uma região delimitada entre os dois pontos de intersecção dessas curvas. Para calculá-los, vamos igualar as equações dessas curvas.

Para o ponto à esquerda do eixo y , escrevemos:

x = - x

Assim:

x 3 + 8 3 =   - x

∴ - 4 x 3 = 8 3

⇒ x = - 2

Já para o ponto à direita do eixo y , temos:

x = x

∴ x 3 + 8 3 = x

∴ 2 x 3 = 8 x 3

Logo:

x = 4

Muito bom!

Passo 3

Para calcular a área, vamos utilizar a integral que comentamos no passo 1 .

∫ a b f x - g x d x = A

De x = - 2 até x = 0 , temos:

x = - x

E, a curva da reta y = x 3 + 8 fica acima da reta y = - x .

Logo:

A 1 =   ∫ - 2 0 x 3 + 8 - - x d x

=   ∫ - 2 0 4 x 3 + 8 d x

= 2 x 2 3 + 8 x - 2 0

Daí, temos:

A 1 =   - 2 ⋅ - 2 2 3 + 8 ⋅ - 2

=   - 8 3 - 16

⇒ A 1 = 40 3

Agora vamos calcular a área da região no intervalo x = 0 até x = 4 .

Vamos fazer o processo semelhante:

x = x

⇒ A 2 =   ∫ 0 4 x 3 + 8 - x d x

=   ∫ 0 4 - 2 x 3 + 8 d x

= - x 2 3 + 8 x 0 4

= - 4 2 3 + 8 ⋅ 4

Logo:

A 2 = 32 - 16 3

∴ A 2 = 80 3

Muito bem! Daí agora é só somar essas duas áreas para termos a área total da região:

A = 40 3 + 80 3

= 120 3

Portanto:

A = 40  

Prontinho pessoal! Obrigado pela atenção 😊

Resposta

40

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