Esboce a região limitada pelas curvas indicadas e encontre sua área:

c )   y = x 2 - 3 x ; y = 0 ;   x = 5

Passo 1

Ooi pessoal como vocês estão?

Nessa questão recebemos duas curvas:

y = x 2 - 3 x y = 0 x = 5

E, precisamos primeiro esboçar a região entre essas curvas. E, depois, calcular a área dessa região.

Para isso, vamos começar relembrando o gráfico das curvas dadas, e depois encontramos os pontos de intersecção pra delimitar direitinho a região dada.

Pra calcular a área, podemos usar as queridas integrais, usando que:

∫ a b f x - g x d x = A

onde ( f x - g x ) é justamente as curvas que determinam essa área superiormente e inferiormente.

Tranquilo?! Então vamos nessa!

Passo 2

Bom, vamos começar esboçando o gráfico da curva:

y = x 2 - 3 x

É a equação de uma parábola, com concavidade para cima e raízes x = 0 e x = 3 . Daí, temos:

A reta y = 0 é o próprio eixo x , e a reta x = 5 é uma reta vertical que passa por x = 5 .

Juntando tudo em um mesmo gráfico, temos:

Onde a região limitada vai de x = 0 até x = 3 (região abaixo do eixo x ), unida com a região de x = 3 a x = 5 (região acima do eixo y ).

Excelente!

Passo 3

Para calcular a área, vamos utilizar a integral que comentamos no passo 1 .

∫ a b f x - g x d x = A

Primeiro vamos calcular a área da região abaixo do eixo x :

A 1 = - ∫ 0 3 x 2 - 3 x d x

= - x 3 3 - 3 x 2 2 0 3

=   - 3 3 3 - 3 ⋅ 3 2 2

Logo:

A 1 = - 27 3 - 27 2

Agora vamos calcular a área da região de x = 3 a x = 5 .

Temos:

A 2 =   ∫ 3 5 x 2 - 3 x d x

= x 3 3 - 3 x 2 2 3 5

Da[o:

A 2 = 5 3 3 - 3 ⋅ 5 2 2 - 3 3 3 - 3 ⋅ 3 2 2

= 125 3 - 75 2 - 27 3 - 27 2

Daí, somando as duas áreas, temos:

A = 125 3 - 75 2 - 27 3 - 27 2 -   27 3 - 27 2

= 250 - 225 + 54 6

A = 79 6

Prontinho galera! Até a próxima 😉

Resposta

79 6

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