Esboce a região limitada pelas curvas indicadas e encontre sua área:

d )   y = x - 2 2 ; y = x

Passo 1

Faaaala gente bonita, tudo certo com vocês?

Nessa questão recebemos duas curvas:

y = x y = x - 2 2

E, precisamos primeiro esboçar a região entre essas curvas. E, depois, calcular a área dessa região.

Para isso, vamos começar relembrando o gráfico das curvas dadas, e depois encontramos os pontos de intersecção pra delimitar direitinho a região dada.

Pra calcular a área, podemos usar as queridas integrais, usando que:

∫ a b f x - g x d x = A

onde ( f x - g x ) é justamente as curvas que determinam essa área superiormente e inferiormente.

Tranquilo?! Então vamos nessa!

Passo 2

Bom, vamos começar esboçando o gráfico da curva:

y = x - 2 2

= x 2 - 4 x + 4

Trata-se de uma parábola virada para cima e com uma raiz dupla em x = 2 . Assim:

Já para a reta y = x . É uma reta que passa pela origem, e tem inclinação de 45 ° :

Juntando as curvas em um mesmo gráfico, temos:

A região está entre os dois pontos de intersecção, vamos calculá-los.

x - 2 2 = x

∴ x 2 - 5 x + 4 = 0

Logo, por inspeção, x = 1 e x = 4 são raízes.

Excelente!

Passo 3

Para calcular a área, vamos utilizar a integral que comentamos no passo 1 .

∫ a b f x - g x d x = A

No intervalo de x = 1 até x = 4 temos a curva y = x acima de da curva x - 2 2 .

A = ∫ 1 4 x - x - 2 2 d x

=   ∫ 1 4 x - x 2 + 4 x - 4 d x

=   ∫ 1 4 - x 2 + 5 x - 4 d x

Logo:

A = - x 3 3 + 5 x 2 2 - 4 x 1 4

∴ A = - 4 3 3 + 5 ⋅ 4 2 2 - 4 ⋅ 4 - - 1 3 3 + 5 2 - 4 ⋅ 1

A = 9 2

Prontinho pessoal! Obrigado pela atenção e até a próxima 😉

Resposta

9 2

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