Esboce a região limitada pelas curvas indicadas e encontre sua área:

e )   y = x ; y = x 2 - 2

Passo 1

E aí pessoinhas, como vocês estão?

Nessa questão recebemos duas curvas:

y = | x | y = x 2 - 2

E, precisamos primeiro esboçar a região entre essas curvas. E, depois, calcular a área dessa região.

Para isso, vamos começar relembrando o gráfico das curvas dadas, e depois encontramos os pontos de intersecção pra delimitar direitinho a região dada.

Pra calcular a área, podemos usar as queridas integrais, usando que:

∫ a b f x - g x d x = A

onde ( f x - g x ) é justamente as curvas que determinam essa área superiormente e inferiormente.

Tranquilo?! Então vamos nessa!

Passo 2

Bom, vamos começar esboçando o gráfico da curva:

y = x 2 - 2

É uma parábola simétrica com relação ao eixo y e com raízes ±   2 .

Já para y = | x | , temos:

Juntando as curvas em um mesmo gráfico, temos:

A região está entre os dois pontos de intersecção, vamos calculá-los. Vamos igualar as equações em y . Para o ponto à esquerda do eixo y :

x = - x

x 2 - 2 = - x

x 2 + x - 2 = 0

Logo, x = - 2 .

Para o ponto à direita do eixo y :

x = x

∴ x 2 - 2 = x

x 2 - x - 2 = 0

Logo, x = 2 .

Muito bem!

Passo 3

Para calcular a área, vamos utilizar a integral que comentamos no passo 1 .

∫ a b f x - g x d x = A

Daí, de x = - 2 a x = 0 , como a curva y = x está acima da parábola, e vale que:

x = - 2

A 1 = ∫ - 2 0 - x - x 2 - 2 d x

= - x 2 2 - x 3 3 + 2 x - 2 0

Logo:

A 1 = - 0 2 2 - 0 3 3 + 2 ⋅ 0 - - 2 2 2 - - 2 3 3 + 2 ⋅ - 2

⇒ A 1 = 10 3

Daí, como a região de x = 0 a x = 2 é simétrica, temos que:

A = 2 ⋅ 10 3

A = 20 3

Prontinho pessoal! Obrigado pela atenção 😊

Resposta

20 3

Exercícios de Livros Relacionados

Use um gráfico para dar uma estimativa grosseira da área da região que fica abaixo da curva dada. A seguir, ache a área exata y = sin ⁡ x , 0 ≤ x ≤ π
Use um gráfico para dar uma estimativa grosseira da área da região que fica abaixo da curva dada. A seguir, ache a área exata y = x - 4 , 1 ≤ x ≤ 6
Os economistas usam uma distribuição acumulada chamada curva de Lorenz para descrever a distribuição de renda entre as famílias em um dado país. Tipicamente, uma curva de Lorenz é definida no interval