Esboce a região limitada pelas curvas indicadas e encontre sua área:

f )   x = 1 - y 2 ; x = y 2 - 1

Passo 1

E aí pessoal, tudo certo?

Nessa questão recebemos duas curvas:

x = 1 - y 2 x = y 2 - 1

E, precisamos primeiro esboçar a região entre essas curvas. E, depois, calcular a área dessa região.

Para isso, vamos começar relembrando o gráfico das curvas dadas, e depois encontramos os pontos de intersecção pra delimitar direitinho a região dada.

Pra calcular a área, podemos usar as queridas integrais, usando que:

∫ a b f y - g y d y = A

onde ( f y - g y ) é justamente as curvas que determinam essa área superiormente e inferiormente.

Tranquilo?! Então vamos nessa!

Passo 2

Bom, vamos começar esboçando a curva:

x = 1 - y 2

Já para:

x = y 2 - 1

Juntando ambas as curvas em um mesmo gráfico, temos:

Assim, a região delimitada entre as curvas está justamente entre os pontos que as curvas tocam o eixo y , ou seja y = ± 1 .

Passo 3

Para calcular a área, vamos utilizar a integral que comentamos no passo 1 .

∫ a b f y - g y d y = A

Porém, iremos considerar g ( y ) como sendo a reta x = 0 .

Assim, de y = - 1 a y = 1 , vem:

A 1 =   ∫ - 1 0 1 + y 2 d y

= 1 + 1 3 - - 1 + - 1 3 3

= 8 3

Logo, como a outra parte, limitada pela curva x = y 2 - 1 é simétrica a essa, temos:

A = 2 ⋅ 8 3

∴ A = 16 3

Prontinhooo! Obrigado pela atenção pessoal 😊

Resposta

16 3

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