Exercícios Resolvidos de Área entre Curvas

Esboce a região limitada pelas curvas y = x ³ e y = x e em seguida calcule a área desta região.

Passo 1

Sabemos que o gráfico de y = x é uma reta crescente que passa pela origem. Já o gráfico de y = x ³ tem a seguinte forma

A área limitada por esses dois gráficos, portanto, é:

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Os pontos de interseção das curvas são:

x 3 = x

x 2 = 1

x = 0 ; x = ± 1

Portanto teremos que integrar nos intervalos [ - 1 ,   0 ] e [ 0 ,   1 ] para descobrir a área desejada. Observe que, no intervalo [ - 1 ,   0 ] , x 3 ≥ x , logo, a integral que representa a área delimitada pelas curvas nesse intervalo é:

∫ - 1 0 ( x 3 - x )   d x

Já no intervalo   [ 0 ,   1 ] , x ≥ x ³ , portanto a integral que representa a área nesse intervalo é:

∫ 0 1 ( x - x 3 )   d x

A área total é a soma dessas integrais:

A = ∫ - 1 0 ( x 3 - x )   d x + ∫ 0 1 ( x - x 3 )   d x

A =   x 4 4 - x 2 2 - 1 0 + x 2 2 - x 4 4 0 1

A =   - - 1 4 4 - - 1 2 2 + 1 2 2 - 1 4 4 =

A =   - 1 4 - 1 2 + 1 2 - 1 4 = - 1 4 + 1 2 + 1 2 - 1 4 =

1 2

Resposta

A = 1 2

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