Faça um esboço da região R limitada pelas curvas y   =   3 x 2 - 12   e   y = - 2 x 2 + 10 x + 3 e calcule sua área.

Passo 1

Para calcular a área da região R limitada pelas curvas y   =   3 x 2 - 12   e   y = - 2 x 2 + 10 x + 3 , siga os seguintes passos:

Encontre os pontos de interseção das curvas. Isso ocorre quando y é o mesmo para ambas as equações. Igualando as duas equações:

3 x 2 - 12 = - 2 x 2 + 10 x + 3

Simplificando e rearranjando:

5 x 2 - 10 x - 15 = 0

Dividindo toda a equação por 5:

x 2 - 2 x - 3 = 0

Fatorando:

x - 3 x + 1 = 0

Isso nos dá duas soluções para x : x = 3   e   x = - 1

Passo 2

Calcule os pontos de interseção no eixo y   substituindo os valores de x nas equações das curvas:

P a r a   x = 3 :

y = 3 3 2 - 12 = 27 - 12 = 15

P a r a   x = - 1 :

y = 3 1 2 - 12 = 3 - 12 = - 9

Passo 3

Trace o gráfico das curvas e identifique a região R limitada por elas.

Agora, vamos calcular a área da região R   utilizando a integral definida. A área A é dada pela diferença das integrais das duas curvas ao longo do intervalo em que elas se intersectam:

A = ∫ - 1 3 3 x 2 - 12 ) - ( - 2 x 2 + 10 x + 3 d x

Simplificando:

A = ∫ - 1 3 5 x 2 - 10 x - 15 d x

A = 5 3 x 3 - 5 x 2 - 15 x - 1 3

Calculando os valores da integral:

A = 5 3 3 3 - 5 3 2 - 15 3 - 5 3 - 1 3 - 5 - 1 2 - 15 - 1

A = 5 3 ⋅ 27 - 5 ⋅ 9 - 45 - 5 3 + 5 + 15

A = 45 - 45 - 45 - 5 3 + 5 + 15

A = - 45 - 25 3

A = - 160 3

Portanto, a área da região R é aproximadamente -53.33 unidades quadradas. Note que o valor negativo ocorre devido à orientação das curvas neste caso específico.

Resposta

Portanto, a área da região R é aproximadamente -53.33 unidades quadradas. Note que o valor negativo ocorre devido à orientação das curvas neste caso específico.

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