Exercícios Resolvidos de Área entre Curvas

PUCRIO, Cálculo 1 - MAT1161, G3 - 2009.2, Questão 4

Na figura abaixo, sabendo que f x = s e n x , determine os valores de a e b e calcule a área da região destacada.

Passo 1

Sabemos que, pelo gráfico:

a = f π 6

Portanto:

a = s e n π 6

a = 1 2

Analogamente, temos:

b = s e n π 4

b = 2 2

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Entre x = π 4 e x = π 2 temos apenas um retângulo, de área:

A = b a s e × a l t u r a

A = π 2 - π 4 × b - a

A = π 2 2 2 - 1 2

A = π 4 2 - 1

Passo 3

De resto, precisamos fazer a integral da área debaixo da função f menos o retângulo cuja altura é a . Podemos escrever da seguinte maneira:

A ' = π 6 π 4 f x - a d x

Calculando:

A ' = π 6 π 4 s e n x - a d x

A ' = - cos x - a x π 6 π 4

A ' = - cos π 4 - cos π 6 + a π 1 4 - 1 6

A ' = - 2 2 - 3 2 + a π 12

A ' = 1 2 2 - 3 - a π 6

Passo 4

Pondo tudo de volta:

A r e a = 1 2 2 - 3 - a π 6 + π 4 2 - 1

Arrumamos, de forma que:

A r e a = 1 2 2 - 3 + π 2 2 - 1 - a 3

Dependendo de como você arrumar, pode achar algo um pouco diferente...

Resposta

1 2 2 - 3 + π 2 2 - 1 - a 3

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