A figura ao lado indica a área delimitada pelos gráficos das funções

f x = 2 - 2 x 2

E

g x = s e n ( π x )

Com x ∈ [ - 1,1 ] . Use a integral definida para calcular o valor dessa área.

Passo 1

Opa irmãozinho do Responde Aí, tá tudo de boas?

Aqui temos uma questãozinha para calcular a área de uma certa figura utilizando o conceito de integrais definidas.

Mas e aí, tu lembra que conceito é esse?

Não lembra? Oxe, relaxa. Precisamos apenas lembrar desse conceito aqui:

A e n t r e   [ a , b ] = ∫ a b f x d x

E com isso, vamos resolver tudo.

Mas Calminha, Calminha. Vamos resolver juntinhos e vou te mostrar que não são conceitos complicados.

E ae, bora começar a responder?

Passo 2

Para resolver essa questão precisamos da seguinte informação:

A = ∫ - 1 1 f x d x

Agora precisamos descobrir quem é a   f ( x ) . Vamos analisar a figurinha. Belezinha?

Analisando a figurinha vemos que a área é delimitada superiormente pela função quadrática, e inferiormente pela função seno, logo f x = 2 - 2 x 2 - s e n ( π x )

Portanto:

A = ∫ - 1 1 ( 2 - 2 x 2 - s e n ( π x ) ) d x

Agora precisamos resolver a função modular, utilizando a propriedade do modulo temos que:

x < 0 ,   s e n π x = - s e n π x

x > 0 ,   s e n π x = s e n π x

Portanto precisamos utilizar a seguinte propriedade da integral:

A = ∫ - 1 0 2 - 2 x 2 - s e n π x d x + ∫ 0 1 ( 2 - 2 x 2 - s e n ( π x ) ) d x

Aplicando as propriedades da função modular temos que:

A = ∫ - 1 0 2 - 2 x 2 + s e n ( π x ) d x + ∫ 0 1 2 - 2 x 2 - s e n π x d x

Passo 3

Agora vamos resolver a integral:

A = ∫ - 1 0 2 - 2 x 2 + s e n ( π x ) d x + ∫ 0 1 2 - 2 x 2 - s e n π x d x

Aplicando a linearidade das integrais temos que:

A = 2 x - 2 3 x 3 - c o s c o s   π x   π     0   - 1   + 2 x - 2 3 x 3 + c o s c o s   π x   π       1   0  

Aplicando os limites de integração temos que:

A = 8 3 - 4 π

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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