O gráfico de g consiste de dois segmentos de retas e um semi-circulo, conforme a figura abaixo.

Calcule:

a)

∫ 0 2 g x d x

b)

∫ 2 6 g x d x

c)

∫ 0 6 g x d x

Passo 1

Fala aí, galera! Vamos fazer uma questão de gráfico para introduzir o conceito de integral!

Nesse caso, a função se comporta com o seguinte gráfico:

E o que é a a integral dessa função g ( x ) ? A integral é a área abaixo da curva!

Passo 2

Então fazendo a letra “a”, ele nos pede:

∫ 0 2 g x d x

Como o intervalo de integração é 0 a 2 , temos que pegar esse intervalo no nosso gráfico:

Temos então a área de um TRIÂNGULO!

O triângulo é retângulo com a base é igual a 2 e a altura é igual a 4 :

A área do trinângulo é igual ao produto da base pela altura dividido por 2 :

A = b ⋅ h 2

Substituindo os nossos valores, vamos chamar essa primeira área como área 1 :

A 1 = 2 ⋅ 4 2

Resolvendo esse cálculo:

A 1 = 4

Logo nossa primeira integral é igual a essa área:

∫ 0 2 g x d x = A 1 = 4

Esse é o fim da letra “a”! Vamos para o próximo item!

Passo 3

Olhando a letra “b”, eles nos pedem a seguinte integral:

∫ 2 6 g x d x

Como nosso intervalo agora é de 2 até 6 , temos essa área A 2 aqui:

Nada mais é do que um semi-círculo de raio igual a 2 !

Já sabemos que precisamos calcular a área desse semi-círculo para calcular a integral, mas vamos com calma.

A área do círculo é:

A c í r c u l o = π ⋅ r 2

Logo a área do semi-círculo é a metade da área do círculo:

A s e m i - c í r c u l o = π ⋅ r 2 2

Então substituindo o raio igual a 2 :

r = 2

Nossa área se torna:

A s e m i - c í r c u l o = π ⋅ 2 2 2 = π ⋅ 4 2 = 2 π

Mas o que falta pra gente determinar a área A 2 ? Bom, vendo que a curva está abaixo do eixo x , então integral é a área negativa!

∫ 2 6 g x d x = - A 2 = - 2 π

Meu consagrado, guarda essa técnica de coração, porque esse conceito é ouro!

Passo 4

Por último, vamos olhar pra letra “c”:

∫ 0 6 g x d x

Olha essa dica-chave pra essa questão, na letra " a " ele pediu pra calcular a integral no intervalo de 0 até 2 e na letra " b " calcular o integral no intervalo de 2 até 6 . Agora nesse momento ele quer integrar de 0 até 6 direto, então podemos usar a propriedade de aditividade!

Ou seja:

∫ 0 6 g x d x = ∫ 0 2 g x d x + ∫ 2 6 g x d x

Pela letra “a”, nós sabemos:

∫ 0 2 g x d x = 4

Enquanto a letra “b” diz que:

∫ 2 6 g x d x = - 2 π

Juntando essas informações:

∫ 0 6 g x d x = 4 - 2 π

Viu como essa informação muda tudo? Leva isso dentro do coração pra prova e arrasa!

Resposta

a)

∫ 0 2 g x d x = 4

b)

∫ 2 6 g x d x = - 2 π

c)

∫ 0 6 g x d x = 4 - 2 π

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