Mostre que as áreas das regiões dadas a seguir são iguais

Passo 1

Beleza pessoal?! Espero que voce esteja bem e super disposto a aprender um pouco mais comigo aqui hoje. O que iremos fazer é comparar a área de duas regiões dadas por uma função, então para isso iremos realizar uma integração.

Passo 2

Para a nossa primeira área, temos que

A =   ∫ 0 1 2 x e x d x

Não nos é natural resolver a integral da nossa área, pelo visto teremos que manipula-la para que tenhamos uma integral já tabelada.

A forma de resolvermos a integral, é resolve-la por integração por partes, onde x   =   u , d v = e x d x

E d u = d x , v = e x

Agora temos que

2 ∫ x e x d x = 2 x e x - 2 ∫ e x d x

= 2 x e x - 2 e x + C

Agora que sabemos o valor da integral indefinida, basta substituir os valores para termos a nossa área.

∫ 0 1 2 x e x d x = 2 x e x - 2 e x ​ 0 1

= 2 1 e 1 - 2 e 1 - 0 - 2 e 0

A = 2 u . a

Passo 3

Para a nossa segunda região, temos

E a nossa integral para a área é dada por,

A = ∫ 0 1 e x d x

Nossa situação agora complicou um pouco mais, primeiro vamos realizar uma substituição nessa integral e ver o que acontece. Chamamos de u = x e d u = 1 2 x d x = 1 2 u d x

Agora nossa integral tem essa cara,

A =   ∫ e u 2 u d u

Eu não sei vocês, mas acredito que eu já vi essa integral em outro lugar. Sabemos que essa integral nos dará 2 pois já resolvemos anteriormente, sendo assim temos que nossas duas áreas são realmente iguais. Obrigado por me acompanhar até aqui e até a próxima.

Resposta

Ver o desenvolvimento.

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