Proceda como no exercício anterior para calcular a área da região limitada pelas curvas dadas:

a )   f x = x ; g x = x 2

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? Essa questão parece complicada, mas vou te ajudar!

O problema nos deu essas duas funções aqui

f x = x ; g x = x 2

E pediu para encontrarmos a área entre as curvas!

Para isso o problema anterior nos pediu uma série de itens:

  • Encontrar onde as funções de cruzam e assim achar os limites de integração7
  • No segundo item vamos escolher um ponto que esteja compreendido entre o intervalo de integração e substituir nas duas funções: assim vamos achar quem está por cima e por baixo
  • E por fim vamos integrar!

e é isso que vamos fazer! Mas relaxa que vou fazer passo a passo com você!

Vamos começar?

Passo 2

Vamos começar igualando as duas funções!

f x = x ;     g x = x 2

Daí temos

x = x 2

x 2 = x 2 2

x = x 4

x 4 - x = 0

x x 3 - 1 = 0

Daqui temos duas soluções:

x = 0

x 3 - 1 = 0 → x = 1

Assim temos:

x = 0   &   x = 1

Significa que as curvas se cruzam nesses dois pontos!

Assim esse é nosso intervalo (e nossos limites de integração)

[ 0,1 ]

Beleza?

Passo 3

Agora vamos analisar as duas funções em algum ponto que está dentro do intervalo 0,1 , assim vamos saber quem está por cima e quem está por baixo!

As funções são

f x = x ;       g x = x 2

Um ponto no intervalo fechado [ 0,1 ] pode ser o x = 1 / 4 (mas vale para qualquer outro x dentro do intervalo viu?), substituindo nas funções temos

f 1 4 = 1 4 = 1 2  

g 1 4 = 1 4 2 = 1 16

Assim temos g x < f ( x ) , ou seja, a raiz está por cima da parábola, como vemos no gráfico:

Tudo bem até aqui?

Passo 4

Agora que sabemos que a f ( x ) está por cima, #partiu integrar? As funções são

f x = x ;       g x = x 2

A área vai ser:

A = ∫ 0 1 f x - g x d x = ∫ 0 1 ( x - x 2 ) d x

#partiu integrar

A = 2 3 x 3 / 2 - x 3 3 0 1 = 2 3 - 1 3 = 1 3

E é isso! Espero ter ajudado!

Resposta

1 3

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