Proceda como no exercício anterior para calcular a área da região limitada pelas curvas dadas:

c )   f x = x - 2   ; g x = 2 - x - 2 2

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? Essa questão parece complicada, mas vou te ajudar!

O problema nos deu essas duas funções aqui

f x = x - 2   ; g x = 2 - x - 2 2

E pediu para encontrarmos a área entre as curvas!

Para isso o problema anterior nos pediu uma série de itens:

  • Encontrar onde as funções de cruzam e assim achar os limites de integração
  • Depois escolher um ponto que esteja compreendido entre o intervalo de integração e substituir nas duas funções: assim vamos achar quem está por cima e por baixo
  • E por fim vamos integrar!

e é isso que vamos fazer! Mas relaxa que vou resolver passo a passo com você!

Vamos começar?

Passo 2

Vamos começar igualando as duas funções!

f x = x - 2   ; g x = 2 - x - 2 2

Como temos a função modular (que é uma função definida por partes), precisamos analisar em duas etapas! Vamos ver em que ponto a cara dessa função muda,

x - 2 > 0

x - 2 > 0

x > 2

Então a partir de x = 2 a inclinação é positiva, e antes desse ponto é negativa. Precisamos encontrar um ponto de encontro da parte negativa de f ( x ) com g ( x ) para ser nosso limite inferior do intervalo (raiz que seja antes de x = 2 ), e achar outra raiz, mas agora com a parte positiva de f ( x ) , para ser o extremo superior do intervalo (essa raiz deve ser x > 2 )

Primeiro a negativa de f ( x ) :

- x - 2 = 2 - x - 2 2

- x + 2 = 2 - x 2 - 4 x + 4

x 2 - 5 x + 4 = 0

x = - ( - 5 ) ± ( - 5 ) 2 - 4 ( 1 ) ( 4 ) 2 ( 1 ) = 5 ± 3 2

Daqui temos duas soluções

x = 4   &   x = 1

x = 2 , então ficamos apenas com a raiz x = 1 . Agora da parte positiva vamos encontrar o outro extremo do intervalo

Agora vamos para a parte positiva da modular:

+ x - 2 = 2 - x - 2 2

x - 2 = 2 - x 2 + 4 x - 4

x 2 - 3 x = 0

x x - 3 = 0

E daqui saem mais duas soluções

x = 0   ( i n v á l i d o   p o i s   q u e r e m o s   v a l o r e s   x > 2 )

x = 3   ( e x t r e m o   s u p e r i o r   d o   n o s s o   i n t e r v a l o )

Então as curvas se cruzam nesses dois pontos!

x = 1   &   x = 3

Assim esse é nosso intervalo (e nossos limites de integração)

[ 1,3 ]

Beleza?

Passo 3

Agora vamos analisar as duas funções em algum ponto que está dentro do intervalo 1,3 , assim vamos saber quem está por cima e quem está por baixo!

As funções são

f x = x - 2   ; g x = 2 - x - 2 2

Um ponto no intervalo fechado [ 1,3 ] pode ser o x = 2 (mas vale para qualquer outro viu?), substituindo nas funções temos

f ( 2 ) = | 2 - 2 | = 0  

g 2 = 2 - 2 - 2 2 = 2

Assim temos g x > f ( x ) , ou seja, a parábola está por cima da função modular, como vemos no gráfico:

Notem que na hora de integrar vamos precisar dividir essa região em duas partes: de 1 até 2, depois de 2 até 3. Isso acontece sempre que a função for definida

Tudo bem até aqui?

Passo 4

Agora que sabemos que a f ( x ) está por cima, #partiu integrar? As funções são

f x = x - 2   ; g x = 2 - x - 2 2

A área vai ser:

A = ∫ 1 2 f - x - g x d x + ∫ 2 3 f + x - g x d x =

A = ∫ 1 2 - x - 2 - 2 - x - 2 2 d x + ∫ 2 3 x - 2 - 2 - x - 2 2 =

A = ∫ 1 2 [ x 2 - 5 x + 4 ] d x + ∫ 2 3 [ x 2 - 3 x ] d x

Temos duas integrais para resolver!

#partiu integrar

A = x 3 3 - 5 x 2 2 + 4 x 1 2 + x 3 3 - 3 x 2 2 2 3 =

A = 2 3 3 - 5.2 2 2 + 4.2 - 1 3 - 5 2 + 4 + 3 3 3 - 3.3 2 2 - 2 3 3 - 3.2 2 2

Agora é só ir simplificando! Estamos quase no final!

A = 8 3 - 10 + 8 - 1 3 + 5 2 - 4 + 9 - 27 2 - 8 3 + 6

A = + 2 + 1 3 = 7 3

E é isso! Espero ter ajudado!

Resposta

7 3

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