Exercícios Resolvidos de Área entre Curvas

Q02) Considere f x = cos ⁡ x com D o m f = 0 , π

a) Determine o domínio, a imagem e a expressão da função f - 1 (a função inversa de f )

b) Esboce abaixo os gráficos das funções f e f - 1

c) Considere a região plana definida abaixo:

R = x , y ∈ I R 2 0 ≤ x ≤ 1 ,   0 ≤ y ≤ 1 ,   y ≤ f x , y ≤ f - 1 x  

c.1) Seja x = a a abscissa do único ponto de interseção entre os gráficos das funções f e f - 1 . Escreva a área de R como uma soma de integrais na variável x

c.2) Calcule a área da região R em termos de a

Passo 1

Bora lá. Pra começar, como estamos falando de função inversa, temos que trocar o domínio e a imagem de lugar. Mas não sabemos a imagem ainda! Oras, sabendo o domínio a gente chega lá. Seja o domínio:

f x = cos ⁡ x

D o m f = 0 , π

Fazendo:

f 0 = cos ⁡ 0 = 1

f π = cos ⁡ π = - 1

Vemos que:

D o m f = 0 , π

I m f = - 1,1

E logo:

D o m f - 1 = - 1,1

I m f - 1 = 0 , π

Quanto a expressão de f - 1 x , é mole, basta a gente usar a função inversa trigonométrica correspondente. Logo:

f - 1 x = arccos ⁡ x

Show, agora vamos focar no esboço do gráfico das funções. Como uma função inversa é a imagem espelhada em relação a reta y = x e cos ⁡ x sabemos esboçar por ser uma função trigonométrica oscilatória, o esboço fica:

f 0 = cos ⁡ 0 = 1 → M a r c a r   p o n t o   0,1   p r a   f x

f - 1 1 = arccos ⁡ 1 =   0 → M a r c a r   p o n t o   1,0   p a r a   f - 1 x

Note que o ponto x = a , comum as duas curvas, tem que acontecer uma vez que é nesse ponto que cos ⁡ x toca no eixo de simetria. É como se fosse um espelho, seu reflexo também tocará no espelho se você tiver tocando, tendeu? Ah e como D o m f = 0 , π pra poupar papel não precisamos desenhar taaaanto cos ⁡ x assim, principalmente para x < 0

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Pra gente entender a região R , vamos pensar assim: como ela é definida por

0 ≤ x ≤ 1  

0 ≤ y ≤ 1

Então ela é, no máximo, a região dentro dessa caixinha aqui:

Mas como ta valendo

y ≤ f x

y ≤ f - 1 x

De x = 0 até x = a , onde a curva f - 1 x está por cima, basta a gente rachurar a região abaixo de f x :

E essa área rachurada vai ser então representada pela integral:

∫ 0 a cos ⁡ x   d x

Agora, de x = a até x = 1 , a curva f - 1 x está por baixo! Então basta a basta a gente rachurar a região abaixo de f - 1 x , completando a região R toda:

E o pedaço que acabamos de rachurar tem área representada pela integral:

∫ a 1 arccos ⁡ x   d x

A área total é dada então por:

A = ∫ 0 a cos ⁡ x   d x + ∫ a 1 arccos ⁡ x   d x

Passo 3

Agora basta calcular essa área e partir pro abraço:

A = ∫ 0 a cos ⁡ x   d x + ∫ a 1 arccos ⁡ x   d x

Calcular a primeira integral é bem direto não é mesmo? Vamos ter:

A = sin ⁡ x x = 0 x = a + ∫ a 1 arccos ⁡ x   d x

A = sin ⁡ a - sin ⁡ 0 + ∫ a 1 arccos ⁡ x   d x

A = sin ⁡ a + ∫ a 1 arccos ⁡ x   d x

Agora, a segunda integral, complica um tico a mais. Mas pensa aqui comigo, sabemos a derivada de arccos ⁡ x ? Sabemos!

arccos ⁡ x ' = - 1 1 - x 2

Então que tal a gente usar um método de integração que envolva derivar o arccos ⁡ x ? Bora tentar integrar por partes. Seja:

u = arccos ⁡ x → d u = - 1 1 - x 2   d x  

d v = d x → v = x

E seja a regra da integração por partes:

∫ u   d v = u v -   ∫ v   d u

Temos:

∫ arccos ⁡ x   d x = x   arccos ⁡ x +   ∫ x 1 - x 2   d x  

A integral que sobrou é mais tranquila de resolver porque não tem funções trigonométricas. Dá pra tirar de letra com uma substituição simples, quer ver? Se:

t = 1 - x 2

d t d x = - 2 x

d t =   - 2 x   d x

- 1 2 d t = x   d x

E logo:

∫ x 1 - x 2   d x   = - 1 2 ∫ 1 t   d t   = - 1 2 ∫ t - 1 2   d t   = - 1 2   t 1 2 1 2 = - t

Voltando pra variável original:

∫ x 1 - x 2   d x   = - 1 - x 2

E logo a integral fica:

∫ arccos ⁡ x   d x = x   arccos ⁡ x +   ∫ x 1 - x 2   d x  

∫ arccos ⁡ x   d x = x   arccos ⁡ x - 1 - x 2

Aplicando os limites de integração:

∫ a 1 arccos ⁡ x   d x = x   arccos ⁡ x - 1 - x 2 x = a x = 1

∫ a 1 arccos ⁡ x   d x = arccos ⁡ 1 - 1 - 1 2 - a arccos ⁡ a - 1 - a 2

∫ a 1 arccos ⁡ x   d x = 0 - 0 - a arccos ⁡ a + 1 - a 2

Por fim:

∫ a 1 arccos ⁡ x   d x = - a arccos ⁡ a + 1 - a 2

E a área total vai ser:

A = sin ⁡ a + ∫ a 1 arccos ⁡ x   d x

A = sin ⁡ a - a arccos ⁡ a + 1 - a 2

Resposta

D o m f - 1 = - 1,1

I m f - 1 = 0 , π

f - 1 x = arccos ⁡ x

A = ∫ 0 a cos ⁡ x   d x + ∫ a 1 arccos ⁡ x   d x

A = sin ⁡ a - a arccos ⁡ a + 1 - a 2

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