Exercícios Resolvidos de Área entre Curvas

Questão 3) Calcular a área da região limitada do plano, delimitada pelos gráficos das seguintes funções: y = 4 , y = x e y = 1 x 2 .

Passo 1

Bem, antes de passarmos para o problema da área em si, vamos desenhar essa região R para ver com quem a gente está lidando, ok?

As duas primeiras curvas, y = 4 e y = x são tranquilas, são duas retas:

y = 1 x 2 é que se tem que ter mais cuidado, poies ela representa o gráfico de 1 / x só que um pouco mais côncava:

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Bem, mas você já deve ter reparado na representação da região R que surgiu alguns pontos de encontro... Antes de prosseguirmos para calcular área, devemos determinar que pontos são esses, afinal eles serão importantes, saca?

  • O ponto de encontro da reta verde com a curva rosa...
  • y = 4       e         y = 1 x 2               →             1 2 ,   4

  • O ponto de encontro da azul com a rosa...
  • y = x       e         y = 1 x 2               →             1 ,   1

  • Por fim, o ponto de curva verde com a reta azul...

y = 4       e         y = x               →             4 ,   4

Passo 3

Para a determinação da área de R , saiba que uma área aqui sempre será dada por...

A R = ∫ a b h 1 x - h 2 x   d x

Onde h 1 é a função que está por cima e h 2 , a função que está por baixo. Mas se você reparar no esboço da região R novamente... Vai notar que a função que está por baixo, muda quando chegamos no x = 1 ...

Por isso vamos ter que separar essa integral em duas, a primeira vai de 1 2 a 1 e a segunda de 1 a 4 ...

A R = ∫ 1 2 1 4 - 1 x 2   d x + ∫ 1 4 4 - x   d x  

Onde a função de cima é 4 e curva de baixo até 1 é a 1 / x 2 e depois de 1 até 4 é x , saca?

Passo 4

Agora é só calcular!

A R = ∫ 1 2 1 4 - 1 x 2   d x + ∫ 1 4 4 - x   d x  

Calculando a primeira integral...

A R = 4 x + 1 x 1 2 1 + ∫ 1 4 4 - x   d x   →

A R = 4 + 1 - 4 1 2 + 1 1 2 + ∫ 1 4 4 - x   d x   →

A R = 1 + ∫ 1 4 4 - x   d x   →

Calculando a outra integral...

A R = 1 + 4 x - x 2 2 1 4   →

A R = 1 + 16 - 16 2 - 4 - 1 2   →

A R = 1 + 8 - 7 2 = 11 2

Resposta

11 2

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