Questão 2. Dados os gráficos de y = x 2 , y = x e as 5 regiões A 1 , A 2 , A 3 , A 4 e A 5 , delimitadas seguem a figura anexa, formule, em cada caso, a integral que calcula o volume do sólido obtido ao girar a região indicada ao redor do eixo apontado.

a) A 1 ao redor da reta x = - 1 .

Passo 1

Iae, meus queridos! Está com dificuldades nessa questão? Não se preocupe! Estamos aqui para ajudar 😉

Nesse problema temos que obter o volume do solido de revolução cuja área que vamos revolucionar é dada por A 1 e o eixo de revolução é em x = 1 .

Como vamos resolver esse problema? 😐😐

Podemos usar o método dos discos, ou seja, usar a fórmula do volume de um disco para resolver o problema.

O volume do disco, é dado por V = π R 2 h , onde R é o raio e h a altura.

Se dividirmos o volume em discos de alturas infinitesimais, podemos chamar h de d y e R de f y .

Dessa forma, o volume do solido é dado por

V = ∫ y 0 y 1 π f y 2 d y

Bora lá! 😁

Passo 2

Analisando a região A 1 , temos que como a rotação acontece em x = 1 , podemos adaptar a função para facilitar nossos cálculos.

A função que vai determinar R é y = x 2

Queremos uma função f y , então isolamos x na igualdade

x = f y = y

No caso, o raio varia de 1 até f y , ou seja, temos que substituir R por 1 - f y , resultando em uma integral volumétrica

V = ∫ y 0 y 1 π 1 - f y 2 d y

Por fim, temos que definir os limites de integração y 0 e y 1 .

Pelo que vemos na imagem da região, a altura em y da A 1 varia de 0 a 1 , portanto, temos que integrar entre y 0 = 0 e y 1 = 1 .

Substituindo os limites de integração e a função f y , temos

V = ∫ 0 1 π 1 - y 2 d y

Tranquilo até aqui? 😎

Passo 3

Resolvendo a integral, temos...

V = π ∫ 0 1 1 - y 2 d y

V = π ∫ 0 1 1 - 2 y + y d y

Integrando pelo método de integração polinomial...

∫ 1 - 2 y + y d y = y - 4 y 3 2 3 + y 2 2

Aplicando o limite de integração...

V = π ∫ 0 1 y - 4 y 3 2 3 + y 2 2 d y = π 1 - 4 1 3 2 3 + 1 2 2 - 0

V =   π 6

É isso, espero ter ajudado! Entendeu tudo? Responde Aí! 😎👍

Resposta

V =   π 6

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