Questão 2. Dados os gráficos de y = x 2 , y = x e as 5 regiões A 1 , A 2 , A 3 , A 4 e A 5 , delimitadas seguem a figura anexa, formule, em cada caso, a integral que calcula o volume do sólido obtido ao girar a região indicada ao redor do eixo apontado.

c) A 2 ∪ A 3 ao redor de y = 1 .

Passo 1

Iae, como vai? Essa questão está um pouco complicada? Fique tranquilo que vamos tentar te ajudar. 😎👍

Nesse problema temos que obter o volume do solido de revolução cuja área que vamos revolucionar é dada pela soma de A 2 com A 3 e o eixo de revolução é em y = 1 .

Como vamos resolver esse problema? 😐😐

Podemos usar o método dos discos, ou seja, usar a fórmula do volume de um disco para resolver o problema.

O volume do disco, é dado por V = π R 2 h , onde R é o raio e h a altura.

Se dividirmos o volume em discos de alturas infinitesimais, podemos chamar h de d x e R de f x .

Dessa forma, o volume do solido é dado por

V = ∫ x 0 x 1 π f x 2 d x

Bora lá! 😁

Passo 2

Analisando a região A 2 e A 3 , temos que como a rotação acontece em y = 1 , podemos adaptar a função para facilitar nossos cálculos.

A função que vai determinar R é y = x 2 e y = x , ou seja

f 1 x = x 2 ,     f 2 x = x

No caso, podemos calcular a soma dos volumes gerados por A 2 e por A 3 .

Começando por A 2 , temos que R varia de 0 a f 1 x - 1 , se transladarmos o eixo x para x = 1 .

Seguindo a mesma ideia, o volume gerado por A 3 tem raio que varia de 0 a f 2 x - 1 .

Portanto, a função volume é dada por

V = ∫ x 0 x 1 π f 1 x - y 0 2 d x + ∫ x 1 x 2 π f 2 x - y 0 2 d x

Por fim, temos que definir os limites de integração x 0 , x 1 e x 2 .

Pelo que vemos na imagem da região, a altura em x da região A 2 varia de - 1 a 0, portanto, temos que integrar entre x 0 = - 1 e x 1 = 0 .

Já em A 3 a variação em x acontece entre x 1 = 0 e x 2 = 1

Substituindo essas informações no volume, lembrando que y 0 = 1 , temos

V = ∫ - 1 0 π x 2 - 1 2 d x + ∫ 0 1 π x - 1 2 d x

Tranquilo até aqui? 😎

Passo 3

Resolvendo a integral, temos...

V = π ∫ - 1 0 x 2 - 1 2 d x + π ∫ 0 1 x - 1 2 d x

V = π ∫ - 1 0 x 4 - 2 x 2 + 1 d x + π ∫ 0 1 x - 2 x + 1 d x

Integrando pelo método de integração polinomial...

∫ x 4 - 2 x 2 + 1 d x = x 5 5 - 2 x 3 3 + x

∫ x - 2 x + 1 d x = x 2 2 - 2 2 x 3 2 3 + x

Aplicando o limite de integração...

∫ - 1 0 x 4 - 2 x 2 + 1 d x = 0 - - 1 5 5 - 2 - 1 3 3 - 1 = 8 15

∫ 0 1 x - 2 x + 1 d x = 1 2 2 - 2 2 1 3 2 3 + 1 - 0 = 1 6

Juntando os resultados em V

V = π ∫ - 1 0 x 4 - 2 x 2 + 1 d x + π ∫ 0 1 x - 2 x + 1 d x

V = π 8 15 + π 1 6

V = 7 π 10

E todos viveram felizes para sempre. Fim! 😉 Entendeu tudo? Responde Aí

Resposta

V = 7 π 10

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