Questão 4

Seja R a região limitada pela curva y = x 2 + 1 e pelas retas y = x , x = 0 e x = 2 .

a) Faça um esboço da região R

b) Determine a área de R

c) Calcule o volume obtido pela rotação da região R em torno do eixo x .

Passo 1

Bom galerinha da Unicamp, nessa questão vamos utilizar a integral para calcular a área e o volume de revolução de uma região... mas calma, que isso nem é tão complicado assim.

Na letra a), temos que fazer um esboço da região. Ela é delimitada por 4 curvas.

A primeira curva é y = x 2 + 1 , que nada mais é que a parábola y = x 2 só que transladada em uma unidade para cima.

A segunda curva é y = x , que é uma reta que faz 45º e passa pela origem.

A terceira curva é x = 0 que é uma reta vertical que passa por x = 0 e a quarta curva é x = 2 que também é uma reta vertical.

Portanto, teremos algo mais ou menos assim:

Onde em verde temos a parábola y = x 2 + 1 , em azul temos a reta y = x e em vermelho e laranja temos x = 0 e x = 2 .

Passo 2

Para calcular a área dessa região, podemos perceber que ela nada mais é que a área abaixo da parábola y = x 2 + 1 menos a área abaixo da reta y = x e tudo isso ocorre indo de x = 0 até x = 2 , portanto:

A = ∫ 0 2 x 2 + 1   d x - ∫ 0 2 x d x

Se você quiser, pode juntar tudo numa integral só, não faz diferença.

A = ∫ 0 2 x 2 - x + 1   d x

Essa integral é a integral de polinômio que a gente já sabe resolver, vai resultar em:

A = x 3 3 - x 2 2 + x   2 0

E por fim substituindo os limites de integração, teremos:

A = 2 3 3 - 0 3 3 - 2 2 2 + 0 2 2 + 2 - 0

A = 8 3

Passo 3

Para calcular o sólido de revolução ao redor do eixo x , podemos perceber que o sólido obtido pela revolução dessa região em torno do eixo x vai ser composto de diversos anéis, onde cada anel possui o centro no eixo x e raio externo x 2 + 1 e raio interno x , de modo que a área de um desses anéis é dada por:

A a n e l = π R e 2 - π R i 2

= π x 2 + 1 2 - π x 2

= π x 4 + 2 x 2 + 1 - π x 2

= π x 4 + x 2 + 1

Portanto, o volume desse sólido será a integração da área dos anéis indo de x = 0 até x = 2 .

V = ∫ 0 2 π x 4 + x 2 + 1 d x

V = π x 5 5 + x 3 3 + x 2 0

E substituindo os limites de integração, teremos:

V = π 2 5 5 + 2 3 3 + 2 = 166 π 15

Resposta

b)

A = 8 3

c)

V = 166 π 15

Exercícios de Livros Relacionados

Use um gráfico para dar uma estimativa grosseira da área da região que fica abaixo da curva dada. A seguir, ache a área exata y = sin ⁡ x , 0 ≤ x ≤ π
Use um gráfico para dar uma estimativa grosseira da área da região que fica abaixo da curva dada. A seguir, ache a área exata y = x - 4 , 1 ≤ x ≤ 6
Os economistas usam uma distribuição acumulada chamada curva de Lorenz para descrever a distribuição de renda entre as famílias em um dado país. Tipicamente, uma curva de Lorenz é definida no interval