Questão 4. Seja S a superfície dada pela parte da esfera x 2 + y 2 + z 2 = 16 , calota esférica, que está acima do plano z = 2 . Considere a função f x , y , z = y 2 definida em uma região de R 3 que contém S .

(c) Calcule a área da superfície S .

Passo 1

Iae, meus queridos! Está com dificuldades nessa questão? Não se preocupe! Estamos aqui para ajudar 😉

Nesse problema queremos obter a área da superfície S dada pela equação x 2 + y 2 + z 2 = 16 onde z ≥ 2 .

E aí, como fazemos isso? 😐

Para calcular uma área podemos usar o método da integral dupla

∫ y 1 y 2 ∫ x 1 x 2 1 d x d y

Porém, como nossa superfície S é uma calota esférica, podemos aplicar uma conversão para coordenadas esféricas com o raio ρ constante e igual a 4 como vemos na equação.

Anteriormente, obtemos a função vetorial paramétrica de S como S ρ , ϕ , θ = 4 sin ⁡ ϕ cos ⁡ θ , 4 sin ⁡ ϕ sin ⁡ θ , 4 cos ⁡ ϕ com 0 ≤ ϕ ≤ π 6 e 0 ≤ θ ≤ 2 π .

Assim, ao invés de integrarmos em x e y , integramos em ϕ e θ de acordo com essas variações.

Lembrando que quando vamos converter uma integral cartesiana para uma integral com coordenadas esféricas, temos que multiplicar a função de integração pelo jacobiano

J = ρ 2 s e n ϕ

Entendeu o que temos que fazer? 😉

Passo 2

Aplicando a integral da área, temos

A S = ∫ y 1 y 2 ∫ x 1 x 2 1 d x d y = ∫ θ 1 θ 2 ∫ ϕ 1 ϕ 2 1 · J d ϕ d θ

A S = ∫ θ 1 θ 2 ∫ ϕ 1 ϕ 2 1 · J d ϕ d θ

A S = ∫ 0 2 π ∫ 0 π 6 ρ 2 s e n ϕ d ϕ d θ

Como ρ é constante e igual a 4 ...

A S = 4 2 ∫ 0 2 π ∫ 0 π 6 s e n ϕ d ϕ d θ

Integrando em ϕ

A S = 16 ∫ 0 2 π - cos ⁡ ϕ 0 π 6 d θ = 16 ∫ 0 2 π - cos ⁡ π 6 - - cos ⁡ 0 d θ

A S = 16 ∫ 0 2 π - 3 2 - - 1 d θ

A S = 16 ∫ 0 2 π 2 3 3 d θ

Como a função de integração é uma constante, sua integral será dada pela constante multiplicada pela variação nos limites de integração...

A S = 16 2 3 3 2 π - 0

A S = 16 4 3 π 3

A S = 64 3 π 3

É isso, espero ter ajudado! Entendeu tudo? Responde Aí! 😎👍

Resposta

A S = 64 3 π 3

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