Questão 3. Sejam as curvas r 1 = 2 cos ⁡ 3 θ e r 2 = 3 desenhadas em anexo. Formule, em cada caso, uma integral para calcular:

c) A área da região interior a ambas as curvas

Passo 1

Iae, meus queridos! Está com dificuldades nessa questão? Não se preocupe! Estamos aqui para ajudar 😉

Nessa questão, queremos obter uma integral que resulte na área entre as curvas r 1 = 2 cos ⁡ 3 θ e r 2 = 3 escritas em coordenadas polares.

Como podemos fazer isso? 🤔

Para calcularmos uma área através de uma integral, definimos nossa região de integração e aplicamos nos limites de integração da integral de 1 , ou seja

∫ S 1 d S

Onde S é a região de integração.

Bora ver como fica no nosso caso? 🤔

Passo 2

Foi pedido a área dentro da circunferência de raio 3 e dentro da cardioide r 1 = 2 cos ⁡ 3 θ , ou seja, a região hachurada em roxo.

Em coordenadas polares, calculamos uma área por uma integral dupla d r d θ em que d r descreve a variação do raio da região em relação à origem e d θ o ângulo que a região faz com a origem do sistema.

Analisando a região, vemos que o raio maior está em r = 3 e o raio inferior é definido pela cardioide 2 cos ⁡ 3 θ , logo, podemos definir que 2 cos ⁡ 3 θ ≤ r ≤ 3 .

Já em θ , vemos que a região dá uma volta completa ao redor da origem do sistema, ou seja, 0 ≤ θ ≤ 2 π .

Com essas informações, podemos montar a integral dupla em coordenadas polares, como

∫ θ i θ f ∫ r i r f 1 d r d θ

∫ 0 2 π ∫ 2 cos ⁡ 3 θ 3 d r d θ

É isso, espero ter ajudado! Entendeu tudo? Responde Aí! 😎👍

Resposta

∫ 0 2 π ∫ 2 cos ⁡ 3 θ 3 d r d θ

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