Questão 3. Sejam as curvas r 1 = 2 cos ⁡ 2 θ e r 2 = 1 desenhadas em anexo. Formule, em cada caso, uma integral para calcular:

c) A área exterior à cardioide e interior ao círculo.

Passo 1

Fala aí!! Bem-vindo! Está tendo um pouco de dificuldades nessa questão? Não se preocupe vou fazer o máximo pra te ajudar. 😉👍

Nessa questão, queremos obter uma integral que resulte na área fora da curva r 1 = 2 cos ⁡ 2 θ e dentro da curva r 2 = 1 escritas em coordenadas polares.

Como podemos fazer isso? 🤔

Para calcularmos uma área através de uma integral, definimos nossa região de integração e aplicamos nos limites de integração da integral de 1 , ou seja

∫ S 1 d S

Onde S é a região de integração.

Bora ver como fica no nosso caso? 🤔

Passo 2

Foi pedido a área fora da circunferência de raio 1 e dentro da cardioide r 1 = , ou seja, a região hachurada em roxo.

Em coordenadas polares, calculamos uma área por uma integral dupla d r d θ em que d r descreve a variação do raio da região em relação à origem e d θ o ângulo que a região faz com a origem do sistema.

Nesse caso, queremos a área interna a r 1 e externa a r 2 , então podemos definir a área A 1 como a área interior a r 1 e A 2 como a área interior a r 2 limitada por r = 1 .

Assim, podemos dizer que a área hachurada é igual a A 1 - A 2 , ou seja, a área roxa menos a área cinza.

Já em θ , vemos que a região dá uma volta completa ao redor da origem do sistema, ou seja, 0 ≤ θ ≤ 2 π .

Com essas informações, podemos montar a integral dupla em coordenadas polares, como

A = ∫ A 1 1 d A 1 - ∫ A 2 1 d A 2

A = ∫ 0 2 π ∫ 0 1 d r d θ - ∫ 0 2 π ∫ 2 cos ⁡ 2 θ 1 d r d θ

É isso! Essa resolução te ajudou? Responde Aí! ✌

Resposta

A = ∫ 0 2 π ∫ 0 1 d r d θ - ∫ 0 2 π ∫ 2 cos ⁡ 2 θ 1 d r d θ

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