Repita o argumento acima para as funções abaixo. Neste caso, você encontrará 3 raízes para a equação f x = g ( x ) , digamos a < b < c . A área agora será calculada como a soma de duas integrais, uma do tipo ∫ a b d x e outra ∫ b c d x . Em cada uma delas, você deve integrar a função que está por cima, menos a que está por baixo do intervalo de integração

a )   f x = x 3 - x + 1   ; g x = 1

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? Essa questão parece complicada, mas vou te ajudar!

O problema nos deu essas duas funções aqui

f x = x 3 - x + 1   ; g x = 1

E pediu para encontrarmos a área entre as curvas!

Para isso o problema anterior nos pediu uma série de itens:

  • Encontrar onde as funções de cruzam e assim achar os limites de integração
  • Depois escolher um ponto que esteja compreendido entre o intervalo de integração e substituir nas duas funções: assim vamos achar quem está por cima e por baixo
  • E por fim vamos integrar!

e é isso que vamos fazer! Mas relaxa que vou resolver passo a passo com você!

Vamos começar?

Passo 2

Vamos começar igualando as duas funções!

f x = x 3 - x + 1   ; g x = 1

Igualando as funções temos:

f x = g ( x )

x 3 - x + 1 = 1

x 3 - x = 0

x x 2 - 1 = 0

Daqui temos três soluções

x = - 1,0 , 1

Os valores máximo e mínimo são os nossos extremos (superior e inferior) de integração

[ - 1,1 ]

Mas como aas funções se cruzam em mais um ponto no meio desse intervalo (em x = 0 ), precisamos saber quem está por cima e quem está por baixo em cada pedaço!

Beleza?

Passo 3

Agora vamos analisar as duas funções no intervalo [ - 1,0 ] e [ 0,1 ] , assim vamos saber quem está por cima e quem está por baixo!

As funções são

f x = x 3 - x + 1   ; g x = 1

Um ponto no intervalo fechado [ - 1 , 0 ] pode ser o x = - 1 2 (mas vale para qualquer outro nesse intervalo, ok?) temos que

f - 1 2 = - 1 2 3 - - 1 2 + 1 = - 1 8 + 1 2 + 1 = 11 8  

g - 1 2 = 1

Assim temos g x < f ( x ) , ou seja, a reta está por baixo da função de terceiro grau, tudo bem?

Agora vamos ver em um ponto entre 0 e 1 , como por exemplo x = 1 / 2 :

f 1 2 = 1 2 3 - 1 2 = 1 8 - 1 2 + 1 = 5 8  

g 1 2 = 1

Assim temos que g x > f ( x ) , a reta está agora por cima da função e terceiro grau! Elas inverteram!

E podemos ver isso bem direitinho no gráfico:

Notem que na hora de integrar vamos precisar dividir essa região em duas partes: de - 1 até 0, depois de 0 até 1. E precisamos prestar bem atenção qual função está por cima e qual está por baixo!

Tudo bem até aqui?

Passo 4

Agora que sabemos que a f ( x ) está por cima no primeiro pedaço e embaixo no segundo, #partiu integrar? As funções são

f x = x 3 - x + 1   ; g x = 1

A área vai ser:

A = ∫ - 1 0 f ( x ) - g x d x + ∫ 0 1 g x - f ( x ) d x =

A = ∫ - 1 0 x 3 - x + 1 - 1 d x + ∫ 0 1 1 - x 3 - x + 1 d x =

A = ∫ - 1 0 x 3 - x d x + ∫ 0 1 - x 3 + x   d x =

Temos duas integrais para resolver! #partiu integrar

A = x 4 4 - x 2 2 - 1 0 + - x 4 4 + x 2 2 0 1

E substituir nos limites:

A = 0 - - 1 4 4 - - 1 2 2 + - 1 4 4 + 1 2 2 - 0 =

A = - 1 4 + 1 2 - 1 4 + 1 2 = 1 2

E é isso! Espero ter ajudado!

Resposta

1 2

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