Repita o argumento acima para as funções abaixo. Neste caso, você encontrará 3 raízes para a equação f x = g ( x ) , digamos a < b < c . A área agora será calculada como a soma de duas integrais, uma do tipo ∫ a b d x e outra ∫ b c d x . Em cada uma delas, você deve integrar a função que está por cima, menos a que está por baixo do intervalo de integração

b )   f x = 4 x   ; g x = x 3 + 3 x 2

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? Essa questão parece complicada, mas vou te ajudar!

O problema nos deu essas duas funções aqui

f x = 4 x   ; g x = x 3 + 3 x 2

E pediu para encontrarmos a área entre as curvas!

Para isso o problema anterior nos pediu uma série de itens:

  • Encontrar onde as funções de cruzam e assim achar os limites de integração
  • Depois escolher um ponto que esteja compreendido entre o intervalo de integração e substituir nas duas funções: assim vamos achar quem está por cima e por baixo
  • E por fim vamos integrar!

e é isso que vamos fazer! Mas relaxa que vou resolver passo a passo com você!

Vamos começar?

Passo 2

Vamos começar igualando as duas funções!

f x = 4 x   ; g x = x 3 + 3 x 2

Igualando as funções temos:

f x = g ( x )

x 3 + 3 x 2 = 4 x

x 3 + 3 x 2 - 4 x = 0

x x 2 + 3 x - 4 = 0

x x - 1 x + 4 = 0

Daqui temos três soluções

x = - 4 , 0,1

Os valores máximo e mínimo são os nossos extremos (superior e inferior) de integração

[ - 4 , 1 ]

Mas como aas funções se cruzam em mais um ponto no meio desse intervalo (em x = 0 ), precisamos saber quem está por cima e quem está por baixo em cada pedaço!

Beleza?

Passo 3

Agora vamos analisar as duas funções no intervalo [ - 4 , 0 ] e [ 0,1 ] , assim vamos saber quem está por cima e quem está por baixo!

As funções são

f x = 4 x   ; g x = x 3 + 3 x 2

Um ponto no intervalo fechado [ - 4 , 0 ] pode ser o x = - 1 (mas vale para qualquer outro nesse intervalo, ok?) temos que

g - 1 = - 1 3 + 3 - 1 2 = - 1 + 3 = 2  

f - 1 = 4 . - 1 = - 4

Assim temos g x > f ( x ) , ou seja, a reta está por baixo da função de terceiro grau, tudo bem?

Agora vamos ver em um ponto entre 0 e 1 , como por exemplo x = 1 / 2 :

g 1 2 = 1 2 3 + 3 1 2 2 = 3 8  

f 1 2 = 4.1 2 = 2

Assim temos que g x < f ( x ) , a reta está agora por cima da função e terceiro grau! Elas inverteram!

E podemos ver isso bem direitinho no gráfico:

Notem que na hora de integrar vamos precisar dividir essa região em duas partes: de - 4 até 0, depois de 0 até 1. E precisamos prestar bem atenção qual função está por cima e qual está por baixo!

Tudo bem até aqui?

Passo 4

Agora que sabemos que a f ( x ) está por cima no primeiro pedaço e embaixo no segundo, #partiu integrar? As funções são

f x = 4 x   ; g x = x 3 + 3 x 2

A área vai ser:

A = ∫ - 4 0 g x - f ( x ) d x + ∫ 0 1 f ( x ) - g x d x =

A = ∫ - 4 0 x 3 + 3 x 2 - ( 4 x ) d x + ∫ 0 1 4 x - ( x 3 + 3 x 2 ) d x =

A = ∫ - 1 0 x 3 + 3 x 2 - 4 x d x + ∫ 0 1 4 x - x 3 - 3 x 2   d x =

Temos duas integrais para resolver! #partiu integrar

A = x 4 4 + 3 x 3 3 - 4 x 2 2 - 4 0 + 4 x 2 2 - x 4 4 - 3 x 3 3 0 1

E substituir nos limites:

A = 0 - ( - 4 ) 4 4 + - 4 3 - 2 - 4 2 + 2 1 2 - 1 4 4 - 1 3 - 0 =

A = - 64 - 64 - 32 + 2 - 5 4 = 32 + 3 4

E é isso! Espero ter ajudado!

Resposta

32 + 3 4

Exercícios de Livros Relacionados

Use um gráfico para dar uma estimativa grosseira da área da região que fica abaixo da curva dada. A seguir, ache a área exata y = sin ⁡ x , 0 ≤ x ≤ π
Use um gráfico para dar uma estimativa grosseira da área da região que fica abaixo da curva dada. A seguir, ache a área exata y = x - 4 , 1 ≤ x ≤ 6
Os economistas usam uma distribuição acumulada chamada curva de Lorenz para descrever a distribuição de renda entre as famílias em um dado país. Tipicamente, uma curva de Lorenz é definida no interval