Represente a área da região R por uma integral:

b )   R é a região de intersecção dos círculos x 2 + y 2 = 4 e x - 2 2 + y - 2 2 = 4 .

Passo 1

E aí galerinha, tudo certo com vocês?

Nessa questão recebemos a descrição de uma região R . É falado que R é a região de intersecção dos seguintes círculos:

x 2 + y 2 = 4 x - 2 2 + y - 2 2 = 4

A partir dessas informações devemos representar a área de R por meio de integrais.

Para fazer isso, podemos usar o recurso da integral. Se uma região é definida de tal forma que:

g x ≤ y ≤ f ( x )

Podemos escrever que a área dessa região é dada por:

A = ∫ a b f x - g x d x

onde a e b são determinados pela intersecção de f e g .

Massa!

Vamo nessa!

Passo 2

Bom, vamos começar plotando em um mesmo gráfico os dois círculos dados no enunciado. Lembrando que a equação geral de um círculo é dada por:

x - x 0 2 + x - y 0 2 = r 2

onde ( x 0 , y 0 ) é o centro do círculo e r o raio dele.

Assim, temos:

Portanto, a região R que está na intersecção dos círculos vai de x = 0 até x = 2 .

Muito bem!

Passo 3

Como essa região está no primeiro quadrante, podemos reescrever as equações do círculo.

Para o círculo centrado em ( 0,0 ) , o círculo preto, temos:

x 2 + y 2 = 4

∴ y = 4 - x 2

Já para o círculo centrado em ( 2,2 ) , o círculo azul, temos:

y - 2 2 = 4 - x - 2 2

∴ y = 2 ± 4 - x - 2 2

Como é a parte inferior da circunferência no intervalo de x ∈ [ 0,2 ] , temos:

y = 2 - 4 - x - 2 2

Daí, como a curva do círculo azul está abaixo da curva do círculo preto, usando a ideia de área lá do passo 1 , isto é:

A = ∫ a b f x - g x d x

Podemos escrever:

f x = 4 - x 2

g x = 2 - 4 - x - 2 2  

Daí, voltando para a integral, vem que:

A = ∫ 0 2 ( 4 - x 2 - ( 2 - 4 - x - 2 2 ) ) d x

Prontinho! Conseguimos representar a área da região R por uma integral 😊

Resposta

∫ 0 2 ( 4 - x 2 - ( 2 - 4 - x - 2 2 ) ) d x

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