A reta horizontal y   =   c intercepta a curva y   =   2 x   -   3 x 3 no primeiro quadrante como mostra a figura.

Determine c   para que as áreas das duas regiões sombreadas sejam iguais.

Passo 1

Oi, tudo bem? Essa questão parece complicada, mas vou descomplicar para você! O problema deu essa região

Com a curva vermelha y = 2 x - 3 x 3 e pediu para que as áreas verde e roxo sejam iguais e achar o c que deixa isso certinho

Mas como resolver isso?

Precisamos pensar o seguinte, supondo

f x = c

g x = 2 x - 3 x 3

E o retângulo x 1 , x 2 × 0 , c . Temos que a área da região em ROXO seria

A r o x o = ∫ x 1 x 2 g ( x ) d x - ( x 2 - x 1 ) c

Já a região VERDE seria

A v e r d e = x 1 c - ∫ 0 x 1 g ( x ) d x

Beleza?

Nossa missão é igualar essas duas áreas e resolver para x !

É isso! Bora lá?

Mas relaxa, vou fazer passo a passo com você!

Passo 2

Vamos começar igualando as áreas

x 1 c - ∫ 0 x 1 2 x - 3 x 3 d x = ∫ x 1 x 2 2 x - 3 x 3 d x - x 2 - x 1 c

Resolvendo as integrais temos

x 1 c - x 2 - 3 x 4 4 0 x 1 = x 2 - 3 x 4 4 x 1 x 2 - x 2 - x 1 c

Aplicando os limites de integração e simplificando temos

x 2 2 - x 2 c - 3 4 x 2 4 = 0

Beleza?

Agora manipular um pouco para termos c em função de x 2 ! Multiplicando os dois lados por 4 / x 2

4 x 2 - 4 c - 3 x 2 3 = 0

2 x 2 - 4 c + 2 x 2 - 3 x 2 3 ⏝ g   a p l i c a d a   e m   x 2 = 2 x 2 - 4 c + g x 2 = 0

Tudo bem até aqui?

Passo 3

Sabemos g x 2 = c assim temos

2 x 2 - 4 c + g x 2 = 0

2 x 2 - 3 c = 0

c = 2 x 2 3

Agora substituindo em g temos

2 x 2 - 3 x 2 3 = 2 3 x 2

Simplificando temos

x 2 2 = 4 9 → x 2 = 2 3

E por fim substituindo em c

c = 2 x 2 3 = 4 9

Show! E é isso pessoal! Espero ter ajudado!

Resposta

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