Se p e q são funções contínuas e p x ≥ q ( x ) em [ a , b ] , então a área da região compreendida acima do gráfico de q e abaixo do gráfico de p é dada por ∫ a b p x - q x d x . Nos itens abaixo, vamos calcular esta área para o caso em que f x = 2 x e g x = x 2 - 4 x

  1. Determine as soluções da equação f x = g ( x ) , chamando de a o menor valor e b o maior.
  2. Pelo Teorema do Valor Intermediário temos que, em todo intervalo a , b , uma das funções é sempre maior ou igual a outra. Determine qual delas é a maior, calculando cada uma delas em um ponto c ∈ ( a , b ) e comparando os dois valores
  3. Determine agora a área integrando, no intervalo [ a , b ] , a função que está por cima menos a que está por baixo

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? Essa questão parece complicada, mas vou te ajudar!

O problema nos deu essas duas funções aqui

E não só o gráfico, nos deu as leis das funções:

f x = 2 x ;       g x = x 2 - 4 x

E pediu para encontrarmos a área entre as curvas: abaixo da curva vermelha e acima da curva verde!

Para isso o problema nos pediu uma série de itens

  • Encontrar onde as funções de cruzam e assim achar os limites de integração7
  • No segundo item vamos escolher um ponto que esteja compreendido entre o intervalo de integração e substituir nas duas funções: assim vamos achar quem está por cima e por baixo
  • E por fim vamos integrar!

e é isso! Mas relaxa que vou fazer passo a passo com você!

Vamos começar?

Passo 2

Letra (a): vamos começar igualando as duas funções!

f x = 2 x ;       g x = x 2 - 4 x

Daí temos

x 2 - 4 x = 2 x

x 2 - 4 x - 2 x = 0

x 2 - 6 x = 0

x x - 6 = 0

Daqui temos duas soluções

x = 0   &   x = 6

Então as curvas se cruzam nesses dois pontos!

Assim esse é nosso intervalo (e nossos limites de integração)

[ 0 ; 6 ]

Beleza?

Passo 3

Letra (b): Agora vamos analisar as duas funções em algum ponto que está dentro do intervalo 0 ; 6 , assim vamos saber quem está por cima e quem está por baixo!

As funções são

f x = 2 x ;       g x = x 2 - 4 x

Um ponto no intervalo fechado [ 0,6 ] pode ser o x = 1 (mas vale para qualquer outro viu?), substituindo nas funções temos

f 1 = 2.1 = 2

g 1 = 1 2 - 4.1 = - 3

Assim temos g x < f ( x ) , ou seja, a reta está por cima da parábola, como vemos no gráfico

Tudo bem até aqui?

Passo 4

Agora que sabemos que a f ( x ) está por cima, #partiu integrar? As funções são

f x = 2 x ;       g x = x 2 - 4 x

A área vai ser:

A = ∫ 0 6 f x - g x d x = ∫ 0 6 ( 2 x - x 2 + 4 x ) d x = ∫ 0 6 ( 6 x - x 2 ) d x

#partiu integrar

A = 6 x 2 2 - x 3 3 0 6 = 3.6 2 - 6 3 3 = 108 - 72 = 36

E é isso! Espero ter ajudado!

Resposta

36

Exercícios de Livros Relacionados

Use um gráfico para dar uma estimativa grosseira da área da região que fica abaixo da curva dada. A seguir, ache a área exata y = sin ⁡ x , 0 ≤ x ≤ π
Use um gráfico para dar uma estimativa grosseira da área da região que fica abaixo da curva dada. A seguir, ache a área exata y = x - 4 , 1 ≤ x ≤ 6
Os economistas usam uma distribuição acumulada chamada curva de Lorenz para descrever a distribuição de renda entre as famílias em um dado país. Tipicamente, uma curva de Lorenz é definida no interval